三角相关极限（sin x / x → 1）

🎯 今天要会做什么

• 记住第一个重要极限：$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。
• 会用「凑 $\dfrac{\sin u}{u}$」的技巧算 $\dfrac{\sin kx}{x}$ 这类极限。
• 了解等价无穷小：$x\to0$ 时 $\sin x\sim x$、$\tan x\sim x$。

这是三角预备的最后一天，也是后面极限阶段（Day 15–21）的敲门砖。真题选择/填空常直接考它。

📖 知识点精讲

1. 第一个重要极限

虽然 $x=0$ 处 $\dfrac{\sin x}{x}$ 没定义（$\dfrac00$），但 $x$ 越靠近 $0$，比值越接近 $1$：

2. 凑 $\dfrac{\sin u}{u}$

只要「正弦里面的角」和「分母」一致，整体就趋于 $1$。里面是 $kx$ 时，把分母也凑成 $kx$：

3. 等价无穷小（$x\to0$）

「$\sim$」表示 $x\to0$ 时两者比值趋于 $1$，求极限时可以互相替换（这一招在 Day 20 会专门练）。

✍️ 例题精解

例 1　里面带系数

解　把分母凑成 $3x$：

例 2　分子分母都是正弦

解　上下同除以 $x$，各自凑成 $\dfrac{\sin u}{u}$：

例 3　$\tan$ 化成 $\sin/\cos$

这也说明了为什么 $\tan x\sim x$。

🧮 课堂练习

先自己做，再展开看答案。错题归入「极限」分类。

1. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 5x}{x}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{3x}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x}{\sin 2x}$
4. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan 3x}{x}$
5. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin 2x}$

🎓 真题实战

下面两道直接来自历年卷，用今天的重要极限就能做：

真题 1　（2022 年 4 月 · 第 7 题，填空）　$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=$ ______。

真题 2　（2021 年 10 月 · 第 2 题，选择）　$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}=$ A. $0$　B. $\dfrac12$　C. $1$　D. $2$

彩蛋：2019 年 10 月真题 第 7 题考 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1$，是同一类型（$\arctan x\sim x$）。这些极限在 Day 15–21 还会系统练。完整卷见 2022 年 4 月真题、2021 年 10 月真题。

🔑 小结 / 易错点

• 用 $\dfrac{\sin u}{u}\to1$ 的前提：正弦里的角和分母完全一致，不一致就先凑。
• $\dfrac{\sin kx}{x}\to k$（不是 $1$）——系数要提出来。
• 今日最低要求：记住 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，会算 $\dfrac{\sin kx}{x}$ 与 $\dfrac{\tan x}{x}$。