2022 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试

高等数学（工专）

课程代码：00022

注意事项

1. 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2. 应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效。
3. 涂写部分、画图部分必须使用 2B 铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。

试题

第一部分 选择题

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1. 下列函数中，周期为 $4\pi$ 的函数是

   A. $y=\sin\dfrac{x}{2}$

   B. $y=\sin2x$

   C. $y=\arcsin x$

   D. $y=\cos^2x$

2. 已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n=16$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=$

   A. $16$

   B. $1$

   C. $0$

   D. 不存在

3. 设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\cos x+2}{x^2-3x+2}$，则函数 $f(x)$ 的所有间断点是

   A. $-2$

   B. $-1$

   C. $0$

   D. $1$ 和 $2$

4. 不定积分 $\displaystyle\int d(\arcsin x)=$

   A. $\arcsin x$

   B. $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

   C. $\arcsin x+C$

   D. $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}+C$

5. 行列式

   $$\begin{vmatrix} \sin\alpha&\cos\alpha\\ -\cos\alpha&\sin\alpha \end{vmatrix} =$$

   A. $0$

   B. $1$

   C. $2$

   D. $4$

第二部分 非选择题

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

6. 函数 $\displaystyle f(x)=\ln(x-2)+\frac{1}{\sqrt{x^2-9}}$ 的定义域为 $\underline{\hspace{2.5cm}}$。

7. 极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

8. 函数 $y=x^2+1$ 在 $[1,2]$ 上的最大值为 $\underline{\hspace{2.5cm}}$。

9. 设 $y=2^x+1$，则 $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=1}=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

10. 不定积分 $\displaystyle\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

11. 曲线 $y=-\dfrac{x}{2}$ 与直线 $y=x$ 及 $x=2$ 所围的平面图形的面积为 $\underline{\hspace{2.5cm}}$。

12. 行列式

    $$\begin{vmatrix} -2&4&3\\ 2&1&2\\ 2&3&5 \end{vmatrix} =\underline{\hspace{2.5cm}}.$$

13. 设矩阵 $A=\begin{bmatrix}5&4\\1&1\end{bmatrix}$，则 $|A^{-1}|=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

14. 求极限 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{1+3x^2}$。

15. 设 $y=\cos(x^2)+3$，求 $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=1}$。

16. 求曲线 $y=x^2+\ln x$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程。

17. 求不定积分 $\displaystyle\int\ln2x\,dx$。

18. 讨论函数 $y=\sqrt[3]{x}$ 的单调性。

19. 设

    $$f(x)= \begin{cases} x, & x<0,\\ -\sin x, & x\ge0, \end{cases}$$

    计算定积分 $\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x)\,dx$。

20. $\lambda$ 为何值时，方程组

    $$\begin{cases} 2x_1-x_2+\lambda x_3=0,\\ x_1-3x_2+4x_3=0,\\ -x_1+2x_2-3x_3=0 \end{cases}$$

    只有零解？

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

21. 试问 $a$ 为何值时，函数 $f(x)=a\cos x-\dfrac{1}{2}\cos2x$ 在 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 处取得极值？它是极大值还是极小值？

22. 求由曲线 $y=-x^2$ 与直线 $y=x$ 所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

答案及评分参考

一、单项选择题

1. A
2. C
3. D
4. C
5. B

二、填空题

6. $(3,+\infty)$ 或 $x>3$

7. $1$

8. $5$

9. $2\ln2$

10. $\arctan e^x+C$

11. $3$

12. $-10$

13. $1$

三、计算题

14. 解：由洛必达法则，

    $$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{1+3x^2} =\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{6x}=+\infty.$$

15. 解：

    $$y'=-2x\sin(x^2),\quad \left.y'\right|_{x=1}=-2\sin1.$$

16. 解：$y'=2x+\dfrac{1}{x}$，在 $x=1$ 处 $y'=3$。切线方程为 $y-1=3(x-1)$，即 $3x-y-2=0$。

17. 解：

    $$\int\ln2x\,dx=x\ln2x-\int x\,d(\ln2x) =x\ln2x-\int dx=x\ln2x-x+C.$$

18. 解：函数 $y=\sqrt[3]{x}$ 的定义域为 $(-\infty,+\infty)$。当 $x\ne0$ 时，

    $$y'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}>0,$$

    当 $x=0$ 时 $y'$ 不存在。故函数在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调增加。

19. 解：

    $$\int_{-1}^{2}f(x)\,dx =\int_{-1}^{0}x\,dx+\int_0^2(-\sin x)\,dx =-\frac{1}{2}+(\cos2-1) =\cos2-\frac{3}{2}.$$

20. 解：只有零解的充要条件是系数行列式

    $$D= \begin{vmatrix} 2&-1&\lambda\\ 1&-3&4\\ -1&2&-3 \end{vmatrix}\ne0.$$

    化简得 $D=3-\lambda$，故 $\lambda\ne3$ 时方程组只有零解。

四、综合题

21. 解：

    $$f'(x)=-a\sin x+\sin2x.$$

    若 $f(x)$ 在 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 处取得极值，则

    $$f'\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{a}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=0,$$

    故 $a=\sqrt3$。又

    $$f''(x)=-\sqrt3\cos x+2\cos2x,\quad f''\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}<0,$$

    所以 $f(x)$ 在 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 处取得极大值。

22. 解：联立 $y=-x^2$ 与 $y=x$ 得交点 $(-1,-1)$，$(0,0)$。所求体积

    $$V=\int_{-1}^{0}\pi x^2\,dx-\int_{-1}^{0}\pi(-x^2)^2\,dx =\pi\int_{-1}^{0}x^2\,dx-\pi\int_{-1}^{0}x^4\,dx =\frac{2}{15}\pi.$$