2021 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试

高等数学（工专）

课程代码：00022

注意事项

1. 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2. 应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效。
3. 涂写部分、画图部分必须使用 2B 铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。

试题

第一部分 选择题

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1. 函数 $y=\dfrac{1}{2^x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内是

   A. 有界函数

   B. 常量

   C. 无界函数

   D. 单增函数

2. 极限 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}=$

   A. $0$

   B. $\dfrac{1}{2}$

   C. $1$

   D. $2$

3. 对于级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n\sin\frac{n\pi}{2}$，下面选项中正确的是

   A. 该级数的和为 $0$

   B. 该级数可能收敛

   C. 该级数发散

   D. 该级数收敛

4. 定积分 $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x^2\sin x}{1+x^2}\,dx=$

   A. $2\pi$

   B. $\pi$

   C. $1$

   D. $0$

5. 设矩阵

   $$A=\begin{bmatrix}1&1\\-1&-1\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix},$$

   则 $AB=$

   A. $\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}$

   B. $\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$

   C. $\begin{bmatrix}2&2\\-2&-2\end{bmatrix}$

   D. $\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$

第二部分 非选择题

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

6. 函数 $y=\sqrt{x^2+2x-8}-\ln x$ 的定义域为 $\underline{\hspace{2.5cm}}$。

7. 极限 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x}+e^5\right)=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

8. 曲线 $y=x^2-1$ 在点 $(1,0)$ 处的法线的斜率为 $\underline{\hspace{2.5cm}}$。

9. 设 $y=xe^x$，则 $y''=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

10. $\displaystyle\int_0^1 e^{3x+2}\,dx=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

11. 曲线 $y=x^2$ 与 $x=1$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $\underline{\hspace{2.5cm}}$。

12. 行列式

    $$\begin{vmatrix} a&1&1\\ 1&a&1\\ 1&1&a \end{vmatrix} =\underline{\hspace{2.5cm}}.$$

13. 设二阶方阵 $A=\begin{bmatrix}3&2\\-4&-2\end{bmatrix}$，则 $|A^5|=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

14. 求极限 $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\ln\sin x}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}$。

15. 设 $y=\dfrac{2x}{x^2+1}$，求 $dy$。

16. 设 $y=f(u)$，而 $u=g(\cos x)$，其中 $f,g$ 是可导函数，复合函数 $y=f[g(\cos x)]$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。

17. 求不定积分 $\displaystyle\int\frac{\ln^2x}{x}\,dx$。

18. 求函数 $y=x^4-2x^2$ 的极值。

19. 计算定积分 $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\sin^2x}\,dx$。

20. 问 $k$ 取何值时，齐次线性方程组

    $$\begin{cases} -x_1-2x_2+4x_3=0,\\ 2x_1+kx_2+x_3=0,\\ x_1+x_2-x_3=0 \end{cases}$$

    有非零解？

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

21. 证明：当 $x>1$ 时，$e^x>ex$。

22. 求由 $y=x$，$x=2$ 及 $x$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

答案及评分参考

一、单项选择题

1. A
2. D
3. C
4. D
5. B

二、填空题

6. $[2,+\infty)$ 或 $x\ge 2$

7. $e^5$

8. $-\dfrac{1}{2}$

9. $2e^x+xe^x$ 或 $(x+2)e^x$

10. $\dfrac{1}{3}(e^5-e^2)$

11. $\dfrac{1}{3}$

12. $(a+2)(a-1)^2$

13. $32$

三、计算题

14. 解：

    $$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\ln\sin x}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2} =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{2\left(x-\frac{\pi}{2}\right)} =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin x}{2}=-\frac{1}{2}.$$

15. 解：

    $$\frac{dy}{dx}=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2} =\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2},$$ $$dy=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\,dx.$$

16. 解：

    $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} =f'(u)g'(\cos x)(-\sin x) =-f'[g(\cos x)]g'(\cos x)\sin x.$$

17. 解：

    $$\int\frac{\ln^2x}{x}\,dx =\int\ln^2x\,d(\ln x) =\frac{\ln^3x}{3}+C.$$

18. 解：$y'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$，驻点为 $x=-1,0,1$。又 $y''=12x^2-4$，$y''(0)<0$，$y''(-1)=y''(1)>0$。故 $x=0$ 处取得极大值 $0$，$x=\pm1$ 处取得极小值 $-1$。

19. 解：

    $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\sin^2x}\,dx =-\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}x\,d(\cot x) =-\left[x\cot x\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} +\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cot x\,dx$$ $$=\frac{\pi}{4}+\left.\ln\sin x\right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\ln2.$$

20. 解：

    $$D= \begin{vmatrix} -1&-2&4\\ 2&k&1\\ 1&1&-1 \end{vmatrix} =-3(k-1).$$

    方程组有非零解当且仅当 $D=0$，故 $k=1$。

四、综合题

21. 证明：设 $f(x)=e^x-ex$，则 $f(1)=0$，且当 $x>1$ 时 $f'(x)=e^x-e>0$，故 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调增加。因此 $x>1$ 时 $f(x)>f(1)=0$，即 $e^x>ex$。

22. 解：

    $$V=\pi\int_0^2x^2\,dx =\pi\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2 =\frac{8}{3}\pi.$$