三角函数积分

🎯 今天要会做什么

• 记住基本三角积分：$\displaystyle\int\sin x\,\mathrm dx=-\cos x+C$ 等。
• 会处理系数型：$\displaystyle\int\sin kx\,\mathrm dx=-\dfrac{\cos kx}{k}+C$。
• 会先用恒等式化简再积分（如 $\tan^2 x$）。

这是求导（Day 8）的逆运算。真题第 17 题里也会出现三角积分，今天先拿下不需要换元的那一档。

📖 知识点精讲

1. 基本三角积分（求导的逆运算）

记忆法：把 Day 8 的求导表「倒着读」。例如 $(-\cos x)'=\sin x$，所以 $\int\sin x\,\mathrm dx=-\cos x+C$——$\sin$ 积分带负号，正好和「$\cos$ 求导带负号」对应。

2. 系数型：里面是 $kx$

和求导相反：求导要乘 $k$，积分要除 $k$。算完用求导检验最稳妥。

3. 表里没有的，先用恒等式化简

遇到 $\tan^2 x$、$\sin^2x$ 这类表里查不到的，先用 Day 5 的恒等式变形。例如 $1+\tan^2x=\sec^2x$，所以 $\tan^2x=\sec^2x-1$。

✍️ 例题精解

例 1　逐项积分

求导检验：$(-2\cos x-3\sin x)'=2\sin x-3\cos x$。✓

例 2　系数型

求导检验：$\left(\dfrac{\sin 2x}{2}\right)'=\dfrac{2\cos 2x}{2}=\cos 2x$。✓

例 3　先化简再积分

解　表里没有 $\tan^2x$，用 $\tan^2x=\sec^2x-1$：

🧮 课堂练习

先自己做，每道用求导检验，再展开对答案。错题归入「不定积分」分类。

1. $\displaystyle\int(\sin x+\cos x)\,\mathrm dx$
2. $\displaystyle\int\sin 3x\,\mathrm dx$
3. $\displaystyle\int 2\cos 2x\,\mathrm dx$
4. $\displaystyle\int(\sec^2 x-\sin x)\,\mathrm dx$
5. $\displaystyle\int(1+\tan^2 x)\,\mathrm dx$

🎓 真题实战

下面这道直接来自历年卷的第 17 题，只用今天的基本公式就能做：

真题　（2023 年 10 月 · 第 17 题）　求不定积分 $\displaystyle\int(1+\sec^2 x)\,\mathrm dx$。

想看它在整张卷里的位置，可点开 2023 年 10 月真题。需要换元的三角积分（如 $\int\sin^3x\cos x\,\mathrm dx$）留到 Day 25。

🔑 小结 / 易错点

• $\int\sin x\,\mathrm dx=-\cos x+C$（带负号），$\int\cos x\,\mathrm dx=\sin x+C$（不带）。
• 系数型是「除以 $k$」，和求导的「乘 $k$」相反，别弄反。
• 永远写 $+C$；算完用求导检验。
• 今日最低要求：基本三角积分表 + 系数型公式，能默写并检验。