2023 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试

高等数学（工专）

课程代码：00022

注意事项

1. 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2. 应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效。
3. 涂写部分、画图部分必须使用 2B 铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。

试题

第一部分 选择题

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。

1. 下列函数中，奇函数为

   A. $f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$

   B. $f(x)=x^2+1$

   C. $f(x)=x^2+x^4$

   D. $f(x)=x|x|$

2. 函数 $\displaystyle y=\frac{\ln|x+1|}{\sqrt{x-1}}$ 的定义域是

   A. $\{x\mid x>-1\}$

   B. $\{x\mid x>1\}$

   C. $\{x\mid x\ge-1\}$

   D. $\{x\mid x\ge1\}$

3. 等比级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n$ 的和为

   A. $\dfrac{1}{3}$

   B. $\dfrac{1}{2}$

   C. $1$

   D. $0$

4. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t^2\,dt=$

   A. $2x\sin x^4$

   B. $\sin x^4$

   C. $2x\cos x^4$

   D. $2x\sin x^2$

5. 矩阵 $\begin{bmatrix}3&-2\\5&-3\end{bmatrix}$ 的逆矩阵是

   A. $\begin{bmatrix}-3&2\\5&3\end{bmatrix}$

   B. $\begin{bmatrix}3&-2\\-3&5\end{bmatrix}$

   C. $\begin{bmatrix}-3&2\\-5&3\end{bmatrix}$

   D. $\begin{bmatrix}3&2\\-5&-3\end{bmatrix}$

第二部分 非选择题

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

6. 设 $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$，则 $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

7. 极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\sin\left[(1+x)^{2/x}\right]=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

8. 设 $y=\log_2x^2$，则 $y'=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

9. 设 $y=e^x-e^{-x}$，则 $\left.dy\right|_{x=0}=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

10. $\displaystyle\int_0^{2\pi}|\sin x|\,dx=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

11. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均值为 $\underline{\hspace{2.5cm}}$。

12. 行列式

    $$\begin{vmatrix} 1&3&4\\ 4&2&1\\ 1&4&-2 \end{vmatrix} =\underline{\hspace{2.5cm}}.$$

13. 设

    $$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix},$$

    则 $AB-C=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

14. 计算极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^2)}{x\sin x}$。

15. 设函数 $y=3x^2+\ln x$，求 $y''$。

16. 设 $y=x(1+x)(2+x)\cdots(2019+x)$，根据导数的定义求 $\left.y'\right|_{x=0}$。

17. 求不定积分 $\displaystyle\int(1+\sec^2x)\,dx$。

18. 确定函数 $y=-x+\dfrac{1}{x}$ 的单调区间。

19. 计算定积分 $\displaystyle\int_0^2\frac{x\,dx}{x^2+2x+2}$。

20. 用消元法求解线性方程组

    $$\begin{cases} x_1-x_2=2,\\ 3x_1+2x_2-x_3=1,\\ 2x_1+3x_2-2x_3=1. \end{cases}$$

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

21. 已知曲线 $y=x^4+ax^3+bx^2+cx-10$ 有两个拐点 $(1,-3)$ 和 $(2,6)$，试求常数 $a,b,c$ 的值。

22. 求由 $y=e^x$，$x=0$，$x=1$ 及 $x$ 轴所围平面图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

答案及评分参考

一、单项选择题

1. D
2. B
3. B
4. A
5. C

二、填空题

6. $\dfrac{x^2}{1+x^2}$

7. $\sin e^2$

8. $\dfrac{2}{x\ln2}$

9. $2\,dx$

10. $4$

11. $\displaystyle\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx$

12. $75$

13. $\begin{bmatrix}-5\\-4\end{bmatrix}$

三、计算题

14. 解：

    $$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^2)}{x\sin x} =\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2}=1.$$

15. 解：$y'=6x+\dfrac{1}{x}$，$y''=6-\dfrac{1}{x^2}$。

16. 解：

    $$\left.y'\right|_{x=0} =\lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta x(1+\Delta x)(2+\Delta x)\cdots(2019+\Delta x)-0}{\Delta x} =2019!.$$

17. 解：

    $$\int(1+\sec^2x)\,dx=x+\tan x+C.$$

18. 解：函数定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。因

    $$y'=-1-\frac{1}{x^2}<0,$$

    故单调减少区间为 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$。

19. 解：

    $$\int_0^2\frac{x\,dx}{x^2+2x+2} =\int_0^2\frac{x+1}{(x+1)^2+1}\,dx-\int_0^2\frac{dx}{(x+1)^2+1}$$ $$=\left.\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2)\right|_0^2-\left.\arctan(x+1)\right|_0^2.$$

20. 解：对增广矩阵作初等行变换，方程组化为

    $$\begin{cases} x_1-x_2=2,\\ 5x_2-x_3=-5,\\ 0=2. \end{cases}$$

    因最后一式永不成立，故方程组无解。

四、综合题

21. 解：$y'=4x^3+3ax^2+2bx+c$，$y''=12x^2+6ax+2b$。由两个拐点得

    $$12+6a+2b=0,\quad 48+12a+2b=0.$$

    又点 $(1,-3)$ 在曲线上，得 $1+a+b+c-10=-3$。解得 $a=-6$，$b=12$，$c=0$。

22. 解：

    $$V=\pi\int_0^1(e^x)^2\,dx =\pi\int_0^1e^{2x}\,dx =\frac{\pi}{2}(e^2-1).$$