Day 8：三角函数求导

🎯 今天要会做什么

真题计算题第 15 题经常考含 $\sin/\cos$ 的求导，今天把套路练熟。

(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (\tan x)'=\sec^2 x.

只有 $\cos$ 求导带负号，记牢。把 $\sin x$ 和它的导数 $\cos x$ 画在一起看： $\cos x$ 正好是 $\sin x$ 每一点的斜率。

y=sin x（橙）与它的导数 y=cos x（蓝）：sin 在顶点(斜率0)处，cos 恰好过零。

里层不是单独的 $x$ （而是某个 $u$ ）时，先按外层求导，再乘里层的导数：

(\sin u)'=\cos u\cdot u',\qquad (\cos u)'=-\sin u\cdot u'.

(\sin 3x)'=\cos 3x\cdot 3=3\cos 3x,\qquad (\cos x^2)'=-\sin x^2\cdot 2x=-2x\sin x^2.

里层 $3x$ 的导数是 $3$ ，里层 $x^2$ 的导数是 $2x$ ——别忘了乘上去。

求 $(\sin 3x)'$ 与 $(\cos 5x)'$ 。

解　里层导数分别是 $3$ 、 $5$ ：

(\sin 3x)'=3\cos 3x,\qquad (\cos 5x)'=-5\sin 5x.

求 $y=\sin(x^2)$ 的导数。

解　外层 $(\sin u)'=\cos u$ ，里层 $u=x^2$ ， $u'=2x$ ：

y'=\cos(x^2)\cdot 2x=2x\cos(x^2).

注意写法： $\sin(x^2)$ 是「先平方再取正弦」，和 $\sin^2 x=(\sin x)^2$ 完全不同。

先自己做，再展开看答案。错题归入「三角函数」分类。

参考答案

下面两道直接来自历年卷的第 15 题，用今天的链式法则就能做：

真题 1　（2022 年 4 月 · 第 15 题）　设 $y=\cos(x^2)+3$ ，求 $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=1}$ 。

真题 2　（2024 年 4 月 · 第 15 题）　设 $y=e^{2x}+\sin x$ ，求 $\left.y'\right|_{x=\frac{\pi}{2}}$ 。

真题参考答案

真题 1　 $y'=-\sin(x^2)\cdot 2x=-2x\sin(x^2)$ 。代入 $x=1$ ：

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=-2\sin 1.

真题 2　 $y'=2e^{2x}+\cos x$ 。代入 $x=\dfrac{\pi}{2}$ ，因 $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$ ：

\left.y'\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=2e^{\pi}+0=2e^{\pi}.

想看它们在整张卷里的位置，可点开 2022 年 4 月真题、2024 年 4 月真题。