奇偶性

🎯 今天要会做什么

• 理解奇函数、偶函数的定义，会用 $f(-x)$ 判断。
• 看懂图像对称：偶函数关于 $y$ 轴对称，奇函数关于原点对称。
• 记住 $\sin$ 奇、$\cos$ 偶、$\tan$ 奇，并会判断它们的组合。

真题选择题第 1 题经常考「判断奇偶」，今天这一招直接拿分；奇偶性以后还能用来简化积分（Day 37）。

📖 知识点精讲

1. 定义与图像对称

把 $x$ 换成 $-x$，看结果：

两条都不满足，就是非奇非偶。

2. 判断步骤

1. 写出 $f(-x)$（把每个 $x$ 换成 $-x$）。
2. 和 $f(x)$、$-f(x)$ 比较，对上哪个就是哪种。

3. 基本函数 + 组合规律

• $\sin x$ 奇、$\cos x$ 偶、$\tan x$ 奇；$x^{奇数}$ 奇、$x^{偶数}$ 偶；$|x|$ 偶。
• 乘法规律（像正负号相乘）：奇 × 奇 = 偶，偶 × 偶 = 偶，奇 × 偶 = 奇。
• 加法：奇 + 奇 = 奇，偶 + 偶 = 偶；一奇一偶相加，通常非奇非偶。

✍️ 例题精解

例 1　判断 $f(x)=x\sin x$

解　$x$ 是奇函数，$\sin x$ 是奇函数，奇 × 奇 = 偶。验证：

是偶函数。

例 2　判断 $f(x)=x+\cos x$

解

它既不等于 $f(x)=x+\cos x$，也不等于 $-f(x)=-x-\cos x$，所以是非奇非偶。

一奇（$x$）加一偶（$\cos x$），通常就是非奇非偶。

例 3　判断 $f(x)=x^3+x$

解

是奇函数。

🧮 课堂练习

先自己做，再展开看答案。错题归入「函数与连续」分类。

1. 判断 $f(x)=x^2\cos x$。
2. 判断 $f(x)=x^3\sin x$。
3. 判断 $f(x)=\sin x+x$。
4. 判断 $f(x)=\cos x+1$。
5. 判断 $f(x)=x\lvert x\rvert$。

🎓 真题实战

下面两道直接来自历年卷的选择题第 1 题，只用今天的判断方法就能做：

真题 1　（2023 年 10 月 · 第 1 题）　下列函数中，奇函数为 A. $f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$　B. $f(x)=x^2+1$　C. $f(x)=x^2+x^4$　D. $f(x)=x\lvert x\rvert$

真题 2　（2024 年 4 月 · 第 1 题）　设函数 $y=\dfrac{x(e^x-e^{-x})}{2}$，则此函数为 A. 奇函数　B. 偶函数　C. 非奇非偶函数　D. 有界函数

想看它们在整张卷里的位置，可点开 2023 年 10 月真题、2024 年 4 月真题。

🔑 小结 / 易错点

• 判断只有一招：算 $f(-x)$，和 $f(x)$、$-f(x)$ 比。
• 组合记成「正负号相乘」：奇 × 奇 = 偶。
• 一奇一偶相加，多半非奇非偶（如例 2）。
• 今日最低要求：能快速判断含 $\sin/\cos/x^n/\lvert x\rvert$ 的函数奇偶。