周期性

🎯 今天要会做什么

• 理解周期函数：图像每隔一段就重复。
• 记住基本周期：$\sin x$、$\cos x$ 是 $2\pi$，$\tan x$ 是 $\pi$。
• 会用公式求 $\sin(kx)$、$\cos(kx)$、$\tan(kx)$ 的周期。

真题选择/填空里经常直接问「$y=\cos 2x$ 的周期」，今天就把这一类拿稳。

📖 知识点精讲

1. 什么是周期函数

如果存在正数 $T$，使得对所有 $x$ 都有

就说 $f$ 是周期函数，最小的正 $T$ 叫最小正周期（通常说「周期」就指它）。

2. 基本周期

3. 系数 $k$ 怎么影响周期

把里面的 $x$ 换成 $kx$，图像被横向压缩 $|k|$ 倍，周期也变为原来的 $\dfrac{1}{|k|}$：

例如 $\sin 2x$ 把一个周期压成一半，周期是 $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$：

✍️ 例题精解

例 1　$y=\cos 2x$ 的周期

解　$k=2$，用 $\dfrac{2\pi}{|k|}$：

例 2　$y=3\sin\dfrac{\pi}{2}x$ 的周期

解　幅度前的 $3$ 不影响周期，只看里面的系数 $k=\dfrac{\pi}{2}$：

例 3　$y=\tan\dfrac{x}{2}$ 的周期

解　$\tan(kx)$ 周期是 $\dfrac{\pi}{|k|}$，这里 $k=\dfrac12$：

注意：$\tan$ 的基准周期是 $\pi$（不是 $2\pi$），别和 $\sin$、$\cos$ 弄混。

🧮 课堂练习

先自己做，再展开看答案。错题归入「三角函数」分类。

1. 求 $y=\sin 3x$ 的周期。
2. 求 $y=\cos\dfrac{x}{3}$ 的周期。
3. 求 $y=\tan 2x$ 的周期。
4. 求 $y=2\cos \pi x$ 的周期。
5. 求 $y=\sin\dfrac{x}{2}$ 的周期。

🎓 真题实战

下面两道直接来自历年卷，只用今天的周期公式就能做：

真题 1　（2024 年 10 月 · 第 6 题，填空）　函数 $y=\cos 2x$ 的周期为 ______。

真题 2　（2022 年 10 月 · 第 1 题，选择）　设 $f(x)=\cos\dfrac{x}{2}$，则 $f(x)$ 是 A. 无界函数　B. 周期为 $4\pi$ 的周期函数　C. 单调函数　D. 周期为 $2\pi$ 的周期函数

想看它们在整张卷里的位置，可点开 2024 年 10 月真题、2022 年 10 月真题。

🔑 小结 / 易错点

• 看周期只看里面的系数 $k$，前面的振幅系数（如 $3\sin$）不影响周期。
• $\sin/\cos$ 用 $\dfrac{2\pi}{|k|}$，$\tan$ 用 $\dfrac{\pi}{|k|}$——基准不同。
• 今日最低要求：记住三个基本周期和两条系数公式，能秒答 $y=\cos 2x$ 的周期。