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历年真题 · 2024 年 10 月

2024 年 10 月 · 00022 高等数学（工专）真题

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2024 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试

高等数学（工专）

课程代码：00022

注意事项

  1. 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
  2. 应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效。
  3. 涂写部分、画图部分必须使用 2B 铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。

试题

第一部分 选择题

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

  1. 下列函数中，表达式为基本初等函数的是

    A. y=∣cos⁡x∣y=|\cos x|

    B. y=x2+exy=x^2+e^x

    C. y=xy=x

    D. y=xxy=x^x

  2. 级数 ∑n=1∞n3n+1\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3n+1} 的敛散情况是

    A. 收敛

    B. 发散

    C. 收敛于 13\dfrac{1}{3}

    D. 收敛于 11

  3. lim⁡x→π3ln⁡(2cos⁡x)=\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\ln(2\cos x)=

    A. ln⁡3\ln\sqrt3

    B. 11

    C. 12\dfrac{1}{2}

    D. 00

  4. 设 f(x)f(x) 的一个原函数为 sin⁡2x\sin2x，则 ∫f′(x) dx=\displaystyle\int f'(x)\,dx=

    A. sin⁡2x\sin2x

    B. sin⁡2x+C\sin2x+C

    C. 2cos⁡2x+C2\cos2x+C

    D. 2cos⁡2x2\cos2x

  5. 三阶方阵 AA 可逆的充要条件是

    A. ∣A∣≠0|A|\ne0

    B. A≠0A\ne0

    C. ∣A∣=0|A|=0

    D. 存在三阶方阵 BB，使 AB=BAAB=BA

第二部分 非选择题

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

  1. 函数 y=cos⁡2xy=\cos2x 的周期为 ‾\underline{\hspace{2.5cm}}。

  2. 极限 lim⁡x→0esin⁡xx=‾\displaystyle\lim_{x\to0}e^{\frac{\sin x}{x}}=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  3. 已知 dy∣x=π=2dx\left.dy\right|_{x=\pi}=2dx，则 dydx∣x=π=‾\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=\pi}=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  4. 函数 y=ln⁡(x2+1)y=\ln(x^2+1) 在 [−1,1][-1,1] 上使罗尔定理结论成立的 ξ=‾\xi=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  5. ∫0π2sin⁡3xcos⁡x dx=‾\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3x\cos x\,dx=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  6. 一物体做直线运动，其速度为 v=1+tv=\sqrt{1+t}（单位：m/s），则该物体自运动开始到 8s8s 末的位移为 ‾\underline{\hspace{2.5cm}}。

  7. 行列式

    ∣a0000b0c0∣=‾.\begin{vmatrix} a&0&0\\ 0&0&b\\ 0&c&0 \end{vmatrix} =\underline{\hspace{2.5cm}}.

  8. 设矩阵 BB 满足

    [1352]B=B[1352]−[1001],\begin{bmatrix}1&3\\5&2\end{bmatrix}B = B\begin{bmatrix}1&3\\5&2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},

    则 B=‾B=\underline{\hspace{2.5cm}}。

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

  1. 求极限 lim⁡x→0ln⁡(1−2x)sin⁡3x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-2x)}{\sin3x}。

  2. 设 y=sin⁡2xln⁡xy=\dfrac{\sin^2x}{\ln x}，求 y′∣x=e\left.y'\right|_{x=e}。

  3. 讨论曲线 y=x3+3x2−80y=x^3+3x^2-80 的凹凸性，并求其拐点。

  4. 求不定积分 ∫exx dx\displaystyle\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx。

  5. 求函数 y=2x3−3x2y=2x^3-3x^2 在 [−1,4][-1,4] 上的最大值与最小值。

  6. 计算定积分 ∫−π2π2x+cos⁡x1+sin⁡2x dx\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x+\cos x}{1+\sin^2x}\,dx。

  7. 设线性方程组为

    {x1+x3=λ,4x1+x2+2x3=λ+2,6x1+x2+4x3=2λ+3.\begin{cases} x_1+x_3=\lambda,\\ 4x_1+x_2+2x_3=\lambda+2,\\ 6x_1+x_2+4x_3=2\lambda+3. \end{cases}

    问 λ\lambda 取何值时方程组有解？

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

  1. 在曲线 y=exy=e^x 上找一点，使曲线在该点的切线过坐标原点。

  2. 求由曲线 y=1−x2y=1-x^2 与 xx 轴围成的平面图形绕 xx 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

答案及评分参考

一、单项选择题

  1. C
  2. B
  3. D
  4. C
  5. A

二、填空题

  1. π\pi

  2. ee

  3. 22

  4. 00

  5. 14\dfrac{1}{4}

  6. 523\dfrac{52}{3}（单位：m）

  7. −abc-abc

  8. 113[−235−1]\dfrac{1}{13}\begin{bmatrix}-2&3\\5&-1\end{bmatrix}

三、计算题

  1. 解：

    lim⁡x→0ln⁡(1−2x)sin⁡3x=lim⁡x→011−2x⋅(−2)3cos⁡3x=−23.\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-2x)}{\sin3x} =\lim_{x\to0}\frac{\dfrac{1}{1-2x}\cdot(-2)}{3\cos3x} =-\frac{2}{3}.

  2. 解：

    y′=(sin⁡2x)′ln⁡x−sin⁡2x(ln⁡x)′ln⁡2x=2sin⁡xcos⁡xln⁡x−sin⁡2xxln⁡2x.y'=\frac{(\sin^2x)'\ln x-\sin^2x(\ln x)'}{\ln^2x} =\frac{2\sin x\cos x\ln x-\dfrac{\sin^2x}{x}}{\ln^2x}. y′∣x=e=2sin⁡ecos⁡e−sin⁡2ee=sin⁡2e−sin⁡2ee.\left.y'\right|_{x=e} =2\sin e\cos e-\frac{\sin^2e}{e} =\sin2e-\frac{\sin^2e}{e}.

  3. 解：函数 y=x3+3x2−80y=x^3+3x^2-80 在其定义区间 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内二阶可导，且

    y′=3x2+6x,y′′=6x+6.y'=3x^2+6x,\quad y''=6x+6.

    令 y′′=0y''=0，得 x=−1x=-1。当 x<−1x<-1 时，y′′<0y''<0，所以函数在 (−∞,−1)(-\infty,-1) 内的曲线是凸的；当 x>−1x>-1 时，y′′>0y''>0，所以函数在 (−1,+∞)(-1,+\infty) 内的曲线是凹的。(−1,−78)(-1,-78) 为曲线 y=x3+3x2−80y=x^3+3x^2-80 的拐点。

  4. 解：

    ∫exx dx=2∫ex dx=2ex+C.\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx =2\int e^{\sqrt{x}}\,d\sqrt{x} =2e^{\sqrt{x}}+C.

  5. 解：函数 y=2x3−3x2y=2x^3-3x^2 在 [−1,4][-1,4] 上连续，在 (−1,4)(-1,4) 内可导，且

    y′=6x2−6x=6x(x−1).y'=6x^2-6x=6x(x-1).

    令 y′=0y'=0，得驻点 x1=0, x2=1x_1=0,\ x_2=1。而

    y(−1)=−5,y(0)=0,y(1)=−1,y(4)=80.y(-1)=-5,\quad y(0)=0,\quad y(1)=-1,\quad y(4)=80.

    所以函数 y=2x3−3x2y=2x^3-3x^2 在区间 [−1,4][-1,4] 上的最大值为 y(4)=80y(4)=80，最小值为 y(−1)=−5y(-1)=-5。

  6. 解：

    ∫−π2π2x+cos⁡x1+sin⁡2x dx=2∫0π2cos⁡x1+sin⁡2x dx\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x+\cos x}{1+\sin^2x}\,dx =2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+\sin^2x}\,dx =2∫0π2dsin⁡x1+sin⁡2x=2arctan⁡(sin⁡x)∣0π2=π2.=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\sin x}{1+\sin^2x} =2\arctan(\sin x)\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{2}.

  7. 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，

    [101λ412λ+26142λ+3]→[101λ01−2−3λ+201−2−4λ+3]\begin{bmatrix} 1&0&1&\lambda\\ 4&1&2&\lambda+2\\ 6&1&4&2\lambda+3 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&0&1&\lambda\\ 0&1&-2&-3\lambda+2\\ 0&1&-2&-4\lambda+3 \end{bmatrix} →[101λ01−2−3λ+2000−λ+1].\to \begin{bmatrix} 1&0&1&\lambda\\ 0&1&-2&-3\lambda+2\\ 0&0&0&-\lambda+1 \end{bmatrix}.

    当 −λ+1=0-\lambda+1=0，即 λ=1\lambda=1 时，方程组有解。

四、综合题

  1. 解：设所求点为 M(x0,ex0)M(x_0,e^{x_0})，曲线 y=exy=e^x 在点 MM 的切线斜率为 ex0e^{x_0}，切线方程为

    y−ex0=ex0(x−x0).y-e^{x_0}=e^{x_0}(x-x_0).

    由题知切线过 (0,0)(0,0) 点，从而

    0−ex0=ex0(0−x0),0-e^{x_0}=e^{x_0}(0-x_0),

    即 ex0=x0ex0e^{x_0}=x_0e^{x_0}，可解得 x0=1x_0=1。故所求点为 (1,e)(1,e)。

  2. 解：所求体积

    V=∫−11π(1−x2)2 dx=2π∫01(1−x2)2 dxV=\int_{-1}^1\pi(1-x^2)^2\,dx =2\pi\int_0^1(1-x^2)^2\,dx =2π∫01(1−2x2+x4) dx=2π(x−23x3+15x5)∣01=2\pi\int_0^1(1-2x^2+x^4)\,dx =2\pi\left(x-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5\right)\bigg|_0^1 =2π(1−23+15)=1615π.=2\pi\left(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right) =\frac{16}{15}\pi.