2022 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试

高等数学（工专）

课程代码：00022

注意事项

1. 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2. 应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效。
3. 涂写部分、画图部分必须使用 2B 铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。

试题

第一部分 选择题

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。

1. 设函数 $f(x)=\cos\dfrac{x}{2}$，则 $f(x)$ 是

   A. 无界函数

   B. 周期为 $4\pi$ 的周期函数

   C. 单调函数

   D. 以 $2\pi$ 为周期的周期函数

2. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n$ 的和为

   A. $-\dfrac{1}{3}$

   B. $\dfrac{1}{3}$

   C. 敛散性不能确定

   D. $0$

3. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ 是 $\displaystyle\lim_{x\to x_0+0}f(x)=A$ 的

   A. 必要条件

   B. 充分必要条件

   C. 充分条件

   D. 既不是必要也不是充分条件

4. 若函数 $f(x)$ 可导，则下列等式中正确的是

   A. $\displaystyle\int f(x)\,dx=f(x)$

   B. $\displaystyle d\left[\int f(x)\,dx\right]=f(x)+C$

   C. $\displaystyle\left[\int f(x)\,dx\right]'=f(x)$

   D. $\displaystyle d\left[\int f(x)\,dx\right]=f(x)$

5. 三阶方阵 $A,B,C$，若 $AB=AC$，则

   A. 必有 $B=C$

   B. $A\ne0$ 时，$B=C$

   C. $B,C$ 皆可逆时，$B=C$

   D. $|A|\ne0$ 时，$B=C$

第二部分 非选择题

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

6. 设

   $$f(x)= \begin{cases} x, & x\le0,\\ \ln x, & x>0, \end{cases} \quad g(x)= \begin{cases} -x, & x\le0,\\ x, & x>0, \end{cases}$$

   则 $g[f(-1)]=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

7. 极限 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-x}=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

8. 设 $f'(x_0)=-1$，则 $\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

9. 设 $y=\sin2x+e^{-x}$，则 $y'(0)=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

10. 设 $\displaystyle f(x)=\int_0^{e^x}t^2\,dt$，则 $f'(x)=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

11. $\displaystyle\int\frac{x}{1+x^2}\,dx=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

12. 行列式

    $$\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&2&-1\\ 2&0&4 \end{vmatrix} =\underline{\hspace{2.5cm}}.$$

13. 设矩阵 $A=\begin{bmatrix}-2&2\\-2&2\end{bmatrix}$，则 $A^3=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

14. 求极限 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}$。

15. 设 $y=x^5-2x^2+1$，求 $\left.dy\right|_{x=1}$。

16. 设 $y=e^{-x}+2x+1$，求 $\left.y''\right|_{x=0}$。

17. 求不定积分 $\displaystyle\int\frac{1-x}{1+x}\,dx$。

18. 确定函数 $y=x^3+3x^2+100$ 的单调区间。

19. 计算定积分 $\displaystyle\int_0^2|t^2-1|\,dt$。

20. 求解线性方程组

    $$\begin{cases} 2x_1+x_2-x_3=0,\\ 2x_1+x_2+2x_3=0,\\ x_1+x_2+x_3=0. \end{cases}$$

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

21. 已知曲线 $y=ax^4+bx^3+cx+1$ 上的点 $(0,1)$ 处的切线与 $x$ 轴平行，且曲线有一拐点 $(1,2)$，试求 $a,b,c$ 的值。

22. 求由曲线 $y=e^x$ 与两坐标轴及直线 $x=2$ 所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

答案及评分参考

一、单项选择题

1. B
2. A
3. C
4. C
5. D

二、填空题

6. $0$

7. $e$

8. $-1$

9. $3$

10. $e^{3x}$

11. $\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$

12. $-40$

13. $\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$

三、计算题

14. 解：

    $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}=0.$$

15. 解：$y'=5x^4-4x$，故 $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=1}=1$，所以 $\left.dy\right|_{x=1}=dx$。

16. 解：$y'=-e^{-x}+2$，$y''=e^{-x}$，故 $\left.y''\right|_{x=0}=1$。

17. 解：

    $$\int\frac{1-x}{1+x}\,dx =\int\left(\frac{2}{1+x}-1\right)\,dx =2\ln|1+x|-x+C.$$

18. 解：$y'=3x^2+6x=3x(x+2)$。函数的单调增加区间为 $(-\infty,-2)$、$(0,+\infty)$，单调减少区间为 $(-2,0)$。

19. 解：

    $$\int_0^2|t^2-1|\,dt =\int_0^1(1-t^2)\,dt+\int_1^2(t^2-1)\,dt=2.$$

20. 解：对系数矩阵作初等行变换，方程组化为

    $$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0,\\ x_2+x_3=0,\\ -2x_3=0. \end{cases}$$

    故 $x_1=x_2=x_3=0$。

四、综合题

21. 解：$y'=4ax^3+3bx^2+c$。由点 $(0,1)$ 处切线与 $x$ 轴平行，得 $c=0$。又 $y''=12ax^2+6bx$，$(1,2)$ 为拐点，得 $12a+6b=0$；且 $a+b+c+1=2$。解得 $a=1$，$b=-2$，$c=0$。

22. 解：

    $$V=\pi\int_0^2(e^x)^2\,dx =\pi\int_0^2e^{2x}\,dx =\frac{\pi}{2}(e^4-1).$$