基本恒等式与化简

🎯 今天要会做什么

• 记住三条基本恒等式（尤其第一条 $\sin^2 x+\cos^2 x=1$）。
• 会用它们化简三角式子，或由一个函数值求出另一个。

前几天认识了 sin、cos、tan 和象限符号。今天学三条「公式」，它们后面会一直用到——化简、求值、积分、极限都靠它。

📖 知识点精讲

1. 三条基本恒等式

第一条最重要。它其实就是 Day 2 单位圆上的勾股定理：交点 $(\cos x,\ \sin x)$ 到圆心的距离是 $1$，所以两条直角边的平方和 $=1^2$。

写法提醒：$\sin^2 x$ 就是 $(\sin x)^2$，也就是「先求 $\sin x$，再平方」。

2. 这三条能干什么

• 互相替换：看到 $1-\cos^2 x$，就可以换成 $\sin^2 x$；看到 $\sin^2x+\cos^2x$，直接写 $1$。
• 求值：知道 $\sin x$，用第一条求出 $\cos x$（符号靠象限定，见 Day 4）。
• 把 $\tan$ 拆开：$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$。

✍️ 例题精解

例 1　由一个值求另一个

已知 $\sin x=\dfrac35$，且 $x$ 在第二象限，求 $\cos x$。

解　用第一条恒等式：

开方得 $\cos x=\pm\dfrac45$。第二象限 $\cos x<0$（Day 4 的象限符号），所以取

关键：开方有正负两个，靠象限挑出对的那个。

例 2　化简（替换）

化简 $\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$（设 $\sin x\neq0$）。

解　$1-\cos^2 x=\sin^2 x$，代进去：

例 3　化简（把 tan 拆开）

化简 $\cos x\cdot\tan x$。

解　$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$，约掉 $\cos x$：

🧮 课堂练习

先自己做，再展开看答案。错题归入「三角函数」分类。

1. 化简 $1-\sin^2 x$。
2. 化简 $\sin^2 x+\cos^2 x+3$。
3. 化简 $\dfrac{1-\sin^2 x}{\cos x}$（设 $\cos x\neq0$）。
4. 已知 $\cos x=\dfrac{12}{13}$ 且 $x$ 在第四象限，求 $\sin x$。
5. 化简 $\sin^2 x+\sin^2 x\,\tan^2 x$。（提示：$1+\tan^2x=\sec^2x$）

📝 历年真题

恒等式本身真题里不单独出题，但它是工具：化简、对称区间积分（Day 37）、求极限都要反复用到。今天把这三条背熟、会替换就行。

🔑 小结 / 易错点

• 三条里第一条最重要：$\sin^2 x+\cos^2 x=1$。
• 化简先想：能不能把 $1-\cos^2x$ 换成 $\sin^2x$、把 $\sin^2x+\cos^2x$ 换成 $1$。
• 由 $\sin x$ 求 $\cos x$ 时，开方记得靠象限定正负。
• 今日最低要求：默写三条恒等式，会做例 2、例 3 的化简。