tan 是什么、tan 值、象限符号

🎯 今天要会做什么

• 知道 $\tan$ 是什么：$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$。
• 记住几个常见角的 $\tan$ 值。
• 记住四个象限里 $\sin$、$\cos$、$\tan$ 的正负号。

$\tan$ 不用单独背，它就是 $\sin$ 除以 $\cos$。会了前两天，今天很轻松。

📖 知识点精讲

1. tan 是什么

$\tan$（读「tan」，中文叫正切）就是 $\sin$ 除以 $\cos$：

所以只要知道 $\sin x$、$\cos x$（Day 3），就能算 $\tan x$。

小心：$\cos x=0$ 时不能除以 $0$，所以那里的 $\tan$ 不存在。比如 $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$，所以 $\tan\dfrac{\pi}{2}$ 不存在。

2. 常见角的 tan 值

每个都是「$\sin$ 除以 $\cos$」算出来的：

举两个看怎么来的：

3. 象限符号

$\sin$ 看上下、$\cos$ 看左右（Day 2），$\tan=\dfrac{\sin}{\cos}$ 的符号由这两个推出（同号得正、异号得负）。口诀「一全正、二正弦、三正切、四余弦」（这个象限里哪个是正的）：

✍️ 例题精解

例 1　算一个 tan 值

求 $\tan\dfrac{\pi}{6}$。

解　用 $\dfrac{\sin}{\cos}$，查 Day 3 的表：

例 2　判断符号

第三象限里，$\sin$、$\cos$、$\tan$ 各是正还是负？

解　第三象限（左下）：点在下方 → $\sin<0$；点在左边 → $\cos<0$。$\tan=\dfrac{\sin}{\cos}=\dfrac{负}{负}$，负负得正 → $\tan>0$。

这正是口诀「三正切」：第三象限只有 $\tan$ 是正的。

🧮 课堂练习

先自己做，再展开看答案。错题归入「三角函数」分类。

1. 写出 $\tan 0$ 和 $\tan\dfrac{\pi}{4}$。
2. 求 $\tan\dfrac{\pi}{3}$（用 $\dfrac{\sin}{\cos}$）。
3. 第二象限里，$\sin$、$\cos$、$\tan$ 各是正还是负？
4. 第四象限里，$\sin$、$\cos$、$\tan$ 各是正还是负？
5. 为什么 $\tan\dfrac{\pi}{2}$ 不存在？

📝 历年真题

$\tan$ 值和象限符号本身不单独出题，但后面求值、判断奇偶、算积分都要用到。今天把 $\tan=\dfrac{\sin}{\cos}$ 和象限符号记牢就行。

🔑 小结 / 易错点

• $\tan=\dfrac{\sin}{\cos}$；$\cos=0$ 的地方 $\tan$ 不存在。
• 符号靠口诀「一全正、二正弦、三正切、四余弦」。
• 今日最低要求：会用 $\dfrac{\sin}{\cos}$ 算常见角 $\tan$，能默写四象限符号表。