🐜 蚂蚁微积分 · 补缺 51 天
预备阶段：三角函数 · Day 3 / 51

常见角的 sin、cos 值

常见角正弦余弦

🎯 今天要会做什么

今天只有一件事：背一张小表。今天先不碰 tan⁡\tan，明天再说。

📖 知识点精讲

1. 一张小表（背它）

角00π6\dfrac{\pi}{6}（30°30°）π4\dfrac{\pi}{4}（45°45°）π3\dfrac{\pi}{3}（60°60°）π2\dfrac{\pi}{2}（90°90°）
sin⁡\sin0012\dfrac1222\dfrac{\sqrt2}{2}32\dfrac{\sqrt3}{2}11
cos⁡\cos1132\dfrac{\sqrt3}{2}22\dfrac{\sqrt2}{2}12\dfrac1200

里面 2≈1.4\sqrt2\approx1.4，所以 22≈0.7\dfrac{\sqrt2}{2}\approx0.7；3≈1.7\sqrt3\approx1.7，所以 32≈0.87\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0.87。这些数都在 00 和 11 之间，正常。

2. 怎么记不容易忘

这和 Day 2 完全对得上：角从 00 转到 90°90°，点越来越高（sin⁡\sin 变大），越来越靠中间（cos⁡\cos 变小）。

特别记一下 π4\dfrac{\pi}{4}（45°45°）：这里 sin⁡\sin 和 cos⁡\cos 相等，都是 22\dfrac{\sqrt2}{2}。

✍️ 例题精解

例 1　查表读值

写出 sin⁡π6\sin\dfrac{\pi}{6} 和 cos⁡π3\cos\dfrac{\pi}{3}。

解　查表：

sin⁡π6=12,cos⁡π3=12.\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\qquad \cos\frac{\pi}{3}=\frac12.

它们相等不是巧合：π6\dfrac{\pi}{6} 的 sin⁡\sin 正好等于 π3\dfrac{\pi}{3} 的 cos⁡\cos。

例 2　45°45° 的特殊

写出 sin⁡π4\sin\dfrac{\pi}{4} 和 cos⁡π4\cos\dfrac{\pi}{4}。

解　45°45° 处两个相等：

sin⁡π4=cos⁡π4=22.\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.

🧮 课堂练习

就是查表，先自己写，再展开对答案。多写几遍能背下来最好。

  1. sin⁡0\sin 0、cos⁡0\cos 0
  2. sin⁡π2\sin\dfrac{\pi}{2}、cos⁡π2\cos\dfrac{\pi}{2}
  3. sin⁡π3\sin\dfrac{\pi}{3}、cos⁡π3\cos\dfrac{\pi}{3}
  4. sin⁡π6\sin\dfrac{\pi}{6}、cos⁡π6\cos\dfrac{\pi}{6}
  5. sin⁡π4\sin\dfrac{\pi}{4}、cos⁡π4\cos\dfrac{\pi}{4}
参考答案
  1. sin⁡0=0\sin 0=0；cos⁡0=1\cos 0=1。
  2. sin⁡π2=1\sin\dfrac{\pi}{2}=1；cos⁡π2=0\cos\dfrac{\pi}{2}=0。
  3. sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}；cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12。
  4. sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12；cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}。
  5. sin⁡π4=cos⁡π4=22\sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}。

📝 历年真题

这几个值后面求极限、求积分时天天要用，必须背到「不用想就能写」。今天先把表记牢。

🔑 小结 / 易错点