2024 年 4 月高等教育自学考试

高等数学（工专）试题

课程代码：00022

注意事项

1. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
2. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

试题

第一部分 选择题

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1. 设函数 $\displaystyle y=\frac{x(e^x-e^{-x})}{2}$，则此函数为

   A. 奇函数

   B. 偶函数

   C. 非奇非偶函数

   D. 有界函数

2. 设数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛，则

   A. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n$ 不存在

   B. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(u_1+u_2+\cdots+u_n)=0$

   C. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+6)$ 收敛

   D. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n+1}$ 收敛

3. 设函数

   $$f(x)= \begin{cases} \cos\dfrac{1}{x}, & x\ne0,\\ 0, & x=0, \end{cases}$$

   则

   A. $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续

   B. $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)$ 存在

   C. $f(x)$ 在点 $x=0$ 处间断

   D. $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=f(0)$

4. 设 $f(x)$ 的一个原函数为 $\dfrac{1}{x}$，则 $\displaystyle\int f'(x)\,dx$

   A. $-\dfrac{1}{x^2}+C$

   B. $-\dfrac{1}{x^2}$

   C. $\dfrac{1}{x}$

   D. $\dfrac{1}{x}+C$

5. 设行列式

   $$D= \begin{vmatrix} 0&0&2a_1\\ 0&2a_2&0\\ 2a_3&0&0 \end{vmatrix},$$

   则 $D$ 的值为

   A. $2a_1a_2a_3$

   B. $8a_1a_2a_3$

   C. $-2a_1a_2a_3$

   D. $-8a_1a_2a_3$

第二部分 非选择题

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

6. 函数

   $$f(x)= \begin{cases} \ln x, & x>0,\\ 0, & x\le0 \end{cases}$$

   的定义域是 $\underline{\hspace{2.5cm}}$。

7. 极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}(e^x+3x+2)=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

8. 设 $y=2x^2-3x+1$，则曲线 $y=2x^2-3x+1$ 的凹区间是 $\underline{\hspace{2.5cm}}$。

9. 设 $f'(x_0)=2$，则 $\left.dy\right|_{x=x_0}=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

10. 若 $\displaystyle\int f(x)\,dx=x\ln x+C$，则 $f(x)=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

11. 设 $\displaystyle f(x)=\int_1^{x^2}e^t\,dt$，则 $f'(x)=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

12. 行列式

    $$\begin{vmatrix} 0&1&0\\ 1&1+x&1\\ 1&1&1-x \end{vmatrix} =\underline{\hspace{2.5cm}}.$$

13. 设矩阵

    $$A=\begin{bmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix},$$

    则 $A^3=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

14. 求极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x}$。

15. 设 $y=e^{2x}+\sin x$，求 $\left.y'\right|_{x=\frac{\pi}{2}}$。

16. 求曲线 $y=x^2-\ln(-x)$ 在点 $(-1,1)$ 处的法线方程。

17. 求不定积分 $\displaystyle\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx$。

18. 讨论函数 $y=\sqrt[5]{x}+5$ 的单调性。

19. 计算定积分 $\displaystyle\int_0^3|x-2|\,dx$。

20. 求解线性方程组

    $$\begin{cases} x_1-x_2+x_3=2,\\ x_1+x_2=1,\\ x_1+x_2+x_3=8. \end{cases}$$

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

21. 在圆 $x^2+y^2=1$ 内作一内接矩形，矩形的边平行于坐标轴，试问矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？

22. 求由曲线 $y=x^3$ 与直线 $x=2$ 及 $y=0$ 所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

答案及评分参考

一、单项选择题

1. B
2. D
3. C
4. A
5. D

二、填空题

6. $(-\infty,+\infty)$

7. $3$

8. $(-\infty,+\infty)$

9. $2\,dx$

10. $\ln x+1$

11. $2xe^{x^2}$

12. $x$

13. $\begin{bmatrix}1&3&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

三、计算题

14. 解：

    $$\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x} =\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}\cos x}{\cos x}=1.$$

15. 解：

    $$y'=2e^{2x}+\cos x,$$ $$\left.y'\right|_{x=\frac{\pi}{2}} =2e^\pi+\cos\frac{\pi}{2}=2e^\pi.$$

16. 解：

    $$y'=2x-\frac{1}{x}.$$

    由导数的几何意义知，曲线在点 $(-1,1)$ 处的切线斜率为

    $$k=\left.y'\right|_{x=-1}=-1,$$

    法线的斜率为 $1$。故所求的法线方程为

    $$y-1=x-(-1),$$

    即 $x-y+2=0$。

17. 解：

    $$\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx =\int\frac{1+x^2-1}{1+x^2}\,dx =\int dx-\int\frac{1}{1+x^2}\,dx =x-\arctan x+C.$$

18. 解：函数 $y=\sqrt[5]{x}+5$ 的定义域为 $(-\infty,+\infty)$。当 $x\ne0$ 时，

    $$y'=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}},$$

    当 $x=0$ 时，$y'$ 不存在。于是当 $x<0$ 或 $x>0$ 时，$y'>0$，故函数在其定义域 $(-\infty,+\infty)$ 内单调增加。

19. 解：

    $$\int_0^3|x-2|\,dx =\int_0^2(2-x)\,dx+\int_2^3(x-2)\,dx$$ $$=\left(2x-\frac{x^2}{2}\right)\bigg|_0^2 +\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\bigg|_2^3 =\frac{5}{2}.$$

20. 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，

    $$\begin{bmatrix} 1&-1&1&2\\ 1&1&0&1\\ 1&1&1&8 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&-1&1&2\\ 0&2&-1&-1\\ 0&2&0&6 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&-1&1&2\\ 0&2&-1&-1\\ 0&0&1&7 \end{bmatrix}.$$

    所以原方程组化简为

    $$\begin{cases} x_1-x_2+x_3=2,\\ 2x_2-x_3=-1,\\ x_3=7. \end{cases}$$

    故原方程组的解为

    $$\begin{cases} x_1=-2,\\ x_2=3,\\ x_3=7. \end{cases}$$

四、综合题

21. 解：设内接矩形在第一象限顶点的坐标为 $(x,y)$，$x^2+y^2=1$，于是矩形的长为 $2x$，宽为 $2y$。

    矩形的面积

    $$S=4xy=4x\sqrt{1-x^2},\quad 0<x<1.$$ $$S'=4\sqrt{1-x^2}+4x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} =\frac{4(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}.$$

    令 $S'=0$，解得唯一驻点 $x=\dfrac{\sqrt2}{2}$。由实际问题知应有最大面积，故长为 $\sqrt2$，宽为 $\sqrt2$ 时，矩形面积最大。

22. 解：所求体积

    $$V=\int_0^2\pi(x^3)^2\,dx =\pi\int_0^2x^6\,dx =\pi\cdot\frac{x^7}{7}\bigg|_0^2 =\frac{128}{7}\pi.$$