🐜 蚂蚁微积分 · 补缺 51 天
历年真题 · 2019 年 10 月

2019 年 10 月 · 00022 高等数学（工专）真题

← 返回真题列表

2019 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试

高等数学（工专）

课程代码：00022

注意事项

  1. 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
  2. 应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效。
  3. 涂写部分、画图部分必须使用 2B 铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。

试题

第一部分 选择题

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

  1. 下列函数中，单调减少的函数是

    A. y=2x+1y=2x+1

    B. y=2xy=2^x

    C. y=e−xy=e^{-x}

    D. y=(x−1)2y=(x-1)^2

  2. 为使函数

    f(x)={6x,x<1,a,x≥1f(x)= \begin{cases} 6x, & x<1,\\ a, & x\ge 1 \end{cases}

    在 x=1x=1 处连续，应取 a=a=

    A. 66

    B. 11

    C. 00

    D. −1-1

  3. 级数 ∑n=1∞(−1)n−1\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}，则该级数的前 nn 项和数列的极限为

    A. 11

    B. −1-1

    C. 00

    D. 不存在

  4. ∫xf′(x) dx=\displaystyle\int x f'(x)\,dx=

    A. xf(x)−f′(x)+Cxf(x)-f'(x)+C

    B. xf′(x)−f(x)+Cxf'(x)-f(x)+C

    C. xf(x)−∫f(x) dxxf(x)-\displaystyle\int f(x)\,dx

    D. f(x)−xf′(x)+Cf(x)-xf'(x)+C

  5. 设矩阵 A=[3211]A=\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}，则 A−1=A^{-1}=

    A. [3−2−11]\begin{bmatrix}3&-2\\-1&1\end{bmatrix}

    B. [1−2−13]\begin{bmatrix}1&-2\\-1&3\end{bmatrix}

    C. [−121−3]\begin{bmatrix}-1&2\\1&-3\end{bmatrix}

    D. [−321−1]\begin{bmatrix}-3&2\\1&-1\end{bmatrix}

第二部分 非选择题

二、填空题

本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

  1. 函数 y=arcsin⁡(x−6)y=\arcsin(x-6) 的定义域是 ‾\underline{\hspace{2.5cm}}。

  2. 极限 lim⁡x→0arctan⁡xx=‾\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  3. 设 y=2cos⁡xy=2^{\cos x}，则 y′=‾y'=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  4. 设函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 可导且 f′(x0)=2f'(x_0)=2，则

    lim⁡Δx→0f(x0+3Δx)−f(x0)Δx=‾.\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+3\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}= \underline{\hspace{2.5cm}}.

  5. 设 f(x)f(x) 的一个原函数为 sin⁡2x\sin 2x，则 ∫f′(x) dx=‾\displaystyle\int f'(x)\,dx=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  6. 当 a>0a>0 时，由定积分的几何意义可知，

∫−aaa2−x2 dx=‾.\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx= \underline{\hspace{2.5cm}}.
  1. 行列式
∣123432164∣=‾.\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&3&2\\ 1&6&4 \end{vmatrix} = \underline{\hspace{2.5cm}}.
  1. 设矩阵
A=[11−10221−10],B=[12−3012001],A=\begin{bmatrix} 1&1&-1\\ 0&2&2\\ 1&-1&0 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix} 1&2&-3\\ 0&1&2\\ 0&0&1 \end{bmatrix},

则 AB=‾AB=\underline{\hspace{2.5cm}}。

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

  1. 计算极限 lim⁡x→+∞exx2\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x^2}。

  2. 设函数 f(x)f(x) 可导，且 f′(2)=1f'(2)=1，已知 y=f(2ln⁡x)y=f(2\ln x)，求 dy∣x=e\left.dy\right|_{x=e}。

  3. 求曲线 y=xln⁡x+1y=x\ln x+1 在点 (1,1)(1,1) 处的切线方程和法线方程。

  4. 求不定积分 ∫1+ln⁡xx dx\displaystyle\int\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}\,dx。

  5. 求曲线 y=x4−4x3+6x−1y=x^4-4x^3+6x-1 的凹、凸区间及拐点。

  6. 计算定积分 ∫01x21+x2 dx\displaystyle\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx。

  7. 用消元法求解线性方程组

{x1+2x2−x3=1,2x1+4x2+x3=5,x1+2x2+2x3=4.\begin{cases} x_1+2x_2-x_3=1,\\ 2x_1+4x_2+x_3=5,\\ x_1+2x_2+2x_3=4. \end{cases}

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

  1. 利用函数的单调性证明：当 x>ex>e 时，ln⁡xx<1e\displaystyle\frac{\ln x}{x}<\frac{1}{e}。

  2. 求由曲线 y=xy=\sqrt{x} 及直线 x=2x=2 与 y=0y=0 所围成的平面图形绕 xx 轴旋转一周所成的旋转体的体积。

答案及评分参考

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。

  1. C
  2. A
  3. D
  4. C
  5. B

二、填空题

本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

  1. [5,7][5,7] 或 5≤x≤75\le x\le 7

  2. 11

  3. −2cos⁡xsin⁡xln⁡2-2^{\cos x}\sin x\ln 2

  4. 66

  5. 2cos⁡2x+C2\cos 2x+C

  6. 12πa2\dfrac{1}{2}\pi a^2

  7. 3535

  8. [13−202611−5]\begin{bmatrix}1&3&-2\\0&2&6\\1&1&-5\end{bmatrix}

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

  1. 解：
lim⁡x→+∞exx2=lim⁡x→+∞ex2x=lim⁡x→+∞ex2=+∞.\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2} =\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2} =+\infty.
  1. 解：
dydx=f′(2ln⁡x)⋅2⋅1x.\frac{dy}{dx}=f'(2\ln x)\cdot 2\cdot\frac{1}{x}. dydx∣x=e=f′(2)⋅2e=2e.\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=e}=f'(2)\cdot\frac{2}{e}=\frac{2}{e}.

故

dy∣x=e=2e dx.\left.dy\right|_{x=e}=\frac{2}{e}\,dx.
  1. 解：
y′=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1.y'=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1.

曲线在点 (1,1)(1,1) 处的切线斜率为 k1=1k_1=1，法线斜率为 k2=−1k_2=-1。

故所求切线方程为

y−1=x−1,y-1=x-1,

即

y=x.y=x.

所求法线方程为

y−1=−(x−1),y-1=-(x-1),

即

y=−x+2.y=-x+2.
  1. 解：
∫1+ln⁡xx dx=∫1+ln⁡x d(1+ln⁡x)=23(1+ln⁡x)32+C.\int\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}\,dx =\int\sqrt{1+\ln x}\,d(1+\ln x) =\frac{2}{3}(1+\ln x)^{\frac{3}{2}}+C.
  1. 解：

函数 y=x4−4x3+6x−1y=x^4-4x^3+6x-1 在其定义域 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内二阶可导，且

y′=4x3−12x2+6,y'=4x^3-12x^2+6, y′′=12x2−24x=12x(x−2).y''=12x^2-24x=12x(x-2).

令 y′′=0y''=0，得 x1=0, x2=2x_1=0,\ x_2=2。

当 x∈(−∞,0)x\in(-\infty,0) 时，y′′>0y''>0；当 x∈(0,2)x\in(0,2) 时，y′′<0y''<0；当 x∈(2,+∞)x\in(2,+\infty) 时，y′′>0y''>0。

因此曲线的凹区间为 (−∞,0)(-\infty,0)、(2,+∞)(2,+\infty)，凸区间为 (0,2)(0,2)，拐点为 (0,−1)(0,-1)、(2,−5)(2,-5)。

  1. 解：
∫01x21+x2 dx=∫01(1−11+x2) dx=(x−arctan⁡x)∣01=1−π4.\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx =\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)\,dx =\left.(x-\arctan x)\right|_0^1 =1-\frac{\pi}{4}.
  1. 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换：
[12−1124151224]→[12−1100330033]→[12−1100110000].\begin{bmatrix} 1&2&-1&1\\ 2&4&1&5\\ 1&2&2&4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&2&-1&1\\ 0&0&3&3\\ 0&0&3&3 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&2&-1&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}.

因此，原方程组化成了

{x1+2x2−x3=1,x3=1.\begin{cases} x_1+2x_2-x_3=1,\\ x_3=1. \end{cases}

故方程组的通解为

{x1=2−2x2,x2=x2,x3=1,\begin{cases} x_1=2-2x_2,\\ x_2=x_2,\\ x_3=1, \end{cases}

其中 x2x_2 为自由未知量。

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

  1. 证明：设
f(x)=ln⁡xx.f(x)=\frac{\ln x}{x}.

函数 f(x)f(x) 在 (e,+∞)(e,+\infty) 上连续，在 (e,+∞)(e,+\infty) 内可导，且在 (e,+∞)(e,+\infty) 内

f′(x)=1−ln⁡xx2<0.f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}<0.

所以 f(x)f(x) 在 (e,+∞)(e,+\infty) 上单调减少。

故当 x>ex>e 时，

f(x)<f(e)=1e,f(x)<f(e)=\frac{1}{e},

即

ln⁡xx<1e.\frac{\ln x}{x}<\frac{1}{e}.
  1. 解：所求体积
V=π∫02(x)2 dx=π∫02x dx=π⋅x22∣02=2π.V=\pi\int_0^2(\sqrt{x})^2\,dx =\pi\int_0^2 x\,dx =\left.\pi\cdot\frac{x^2}{2}\right|_0^2 =2\pi.