Day 11：定义域

🎯 今天要会做什么

知道「定义域」就是：这个函数允许哪些 $x$ 代进去。
记住三条「不能犯」的规则：分母不能是 0、偶次根号里要 ≥0、 $\ln$ 里面要 >0。
会求简单函数的定义域。

把函数想成一台机器：放进一个 $x$ ，吐出一个 $y$ 。但有些 $x$ 放进去会「卡住」（比如除以 0）。能顺利放进去的所有 $x$ ，合起来就是定义域。

📖 知识点精讲

1. 三条「不能犯」的规则

出现什么	要求	例子
分母（除法）	分母 $\neq 0$	$\dfrac{1}{x-2}$ 要 $x\neq 2$
偶次根号 $\sqrt{\ }$	里面 $\ge 0$	$\sqrt{x-1}$ 要 $x\ge 1$
对数 $\ln$	里面 $>0$	$\ln(x+1)$ 要 $x+1>0$

2. 多个条件就「都要满足」

一个函数里如果同时有分母、根号、 $\ln$ ，就把每条要求都写出来，再取公共部分（都满足的那段 $x$ ）。

区间写法： $x\ge 2$ 可以写成 $[2,+\infty)$ ；方括号 $[\ ]$ 表示「包含这个端点」，圆括号 $(\ )$ 表示「不包含」。 $+\infty$ 永远用圆括号。

✍️ 例题精解

例 1　分母不为 0

求 $y=\dfrac{1}{x-3}$ 的定义域。

解　分母不能为 $0$ ： $x-3\neq0$ ，即 $x\neq3$ 。

例 2　根号里非负

求 $y=\sqrt{x-2}$ 的定义域。

解　根号里要 $\ge0$ ： $x-2\ge0$ ，即 $x\ge2$ ，也就是 $[2,+\infty)$ 。

例 3　对数里为正

求 $y=\ln(x+1)$ 的定义域。

解　 $\ln$ 里面要 $>0$ ： $x+1>0$ ，即 $x>-1$ ，也就是 $(-1,+\infty)$ 。

🧮 课堂练习

先自己做，再展开看答案。错题归入「函数与连续」分类。

$y=\dfrac{1}{x+4}$
$y=\sqrt{x+3}$
$y=\ln(x-2)$
$y=\sqrt{4-x}$
$y=\dfrac{1}{x-1}+\sqrt{x}$ （两个条件都要）

参考答案

$x+4\neq0$ ， $x\neq-4$ 。
$x+3\ge0$ ， $x\ge-3$ ，即 $[-3,+\infty)$ 。
$x-2>0$ ， $x>2$ ，即 $(2,+\infty)$ 。
$4-x\ge0$ ， $x\le4$ ，即 $(-\infty,4]$ 。
分母要 $x\neq1$ ，根号要 $x\ge0$ ；合起来： $x\ge0$ 且 $x\neq1$ 。

🎓 真题实战

真题　（2022 年 4 月 · 第 6 题）　求函数 $f(x)=\ln(x-2)+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-9}}$ 的定义域。

真题参考答案

两个部分各提一个条件：

$\ln(x-2)$ ：里面 $>0$ ，即 $x-2>0$ ，得 $x>2$ 。
$\dfrac{1}{\sqrt{x^2-9}}$ ：根号里要 $>0$ （在分母上不能等于 0），即 $x^2-9>0$ ，也就是 $x^2>9$ ，得 $x>3$ 或 $x<-3$ 。

两条都要满足，取公共部分： $x>2$ 和（ $x>3$ 或 $x<-3$ ）的公共部分是 $x>3$ 。

定义域为 $(3,+\infty)$ 。

想看它在整张卷里的位置，可点开 2022 年 4 月真题。

🔑 小结 / 易错点

三条规则：分母 $\neq0$ 、偶次根号里 $\ge0$ 、 $\ln$ 里 $>0$ 。
在分母上的根号要 $>0$ （既不能负、也不能 0）。
多个条件取公共部分。
今日最低要求：会求带分母、根号、 $\ln$ 的简单函数定义域。

定义域