第一阶段：函数基础 · Day 12 / 51

值域、基本初等函数

值域基本初等函数

🎯 今天要会做什么

知道「值域」就是：函数能吐出来的所有 $y$ 。
认识 $5$ 类「基本初等函数」——它们是搭出一切复杂函数的积木。

昨天学的定义域是「能放进去的 $x$ 」（入口）；今天的值域是「能吐出来的 $y$ 」（出口）。

📖 知识点精讲

1. 值域：函数能取到哪些 $y$

求简单函数的值域，就想「这个式子能等于哪些数」：

$y=x^2$ ：平方不会是负数，所以 $y\ge0$ ，值域 $[0,+\infty)$ 。
$y=\sqrt{x}$ ：根号结果非负， $y\ge0$ 。
$y=e^x$ ：指数永远是正的， $y>0$ ，值域 $(0,+\infty)$ 。

y = x²：图像最低到 0，再往上没有上限，所以值域是 y ≥ 0。

2. 五类基本初等函数（积木）

名称	样子	例子
常数函数	$y=c$	$y=5$
幂函数	$y=x^{n}$	$y=x^2,\ y=\sqrt{x}$
指数函数	$y=a^{x}$	$y=e^x,\ y=2^x$
对数函数	$y=\log_a x$	$y=\ln x$
三角函数	$\sin x,\ \cos x,\ \tan x$	（前面学过）

复杂的函数，都是这几类「积木」用加减乘除、复合搭出来的。认识它们，后面求导、积分才有头绪。

✍️ 例题精解

例 1　带平方的值域

求 $y=x^2+1$ 的值域。

解　 $x^2\ge0$ ，两边加 $1$ ： $x^2+1\ge1$ 。所以 $y\ge1$ ，值域 $[1,+\infty)$ 。

例 2　指数的值域

求 $y=2^x$ 的值域。

解　指数函数永远是正数（ $2$ 的任何次方都 $>0$ ），所以 $y>0$ ，值域 $(0,+\infty)$ 。

🧮 课堂练习

先自己做，再展开看答案。错题归入「函数与连续」分类。

求 $y=x^2$ 的值域。
求 $y=\sqrt{x}$ 的值域。
求 $y=e^x$ 的值域。
求 $y=x^2-3$ 的值域。

参考答案

$x^2\ge0$ ，值域 $[0,+\infty)$ 。
根号非负， $y\ge0$ ，值域 $[0,+\infty)$ 。
指数永远正， $y>0$ ，值域 $(0,+\infty)$ 。
$x^2\ge0$ ，减 $3$ 后 $\ge-3$ ，值域 $[-3,+\infty)$ 。

📝 历年真题

值域真题里很少单独考，但认识基本初等函数非常重要——后面求导、积分都是对着这几类函数来的。今天先把这张「积木表」记住。

🔑 小结 / 易错点

定义域是入口（ $x$ ），值域是出口（ $y$ ）。
$x^2\ge0$ 、 $\sqrt{x}\ge0$ 、 $e^x>0$ 是最常用的三个「非负/为正」事实。
今日最低要求：能说出 $y=x^2$ 、 $y=e^x$ 的值域；能背出五类基本初等函数。