Day 13：复合函数、反函数

🎯 今天要会做什么

懂「复合函数」：一台机器的输出，喂给另一台机器（套娃）。
懂「反函数」：把 $x$ 、 $y$ 对调，倒着解出来。

两个新词，但都不难。复合就是「先里后外」，反函数就是「解出来再对调」。

📖 知识点精讲

1. 复合函数：套娃

$f(g(x))$ 的意思是：先算 $g(x)$ ，再把结果放进 $f$ 。

例： $f(x)=\sqrt{x}$ ， $g(x)=x+1$ ，那么

f(g(x))=f(x+1)=\sqrt{x+1}.

2. 求 $f(\text{某式})$ 就是「代入」

要算 $f$ 在某个式子处的值，就把 $f$ 里的 $x$ 全部换成那个式子。例： $f(x)=x^2$ ，则 $f(x+3)=(x+3)^2$ 。

3. 反函数：把 $x$ 、 $y$ 对调

$y=f(x)$ 的反函数，求法两步：

从 $y=\dots$ 里解出 $x$ （用 $y$ 表示 $x$ ）。
再把式子里的 $x$ 换成 $y$ 、 $y$ 换成 $x$ 。

✍️ 例题精解

例 1　复合（先里后外）

$f(x)=x^2$ ， $g(x)=x+3$ ，求 $f(g(x))$ 。

解　先算里面 $g(x)=x+3$ ，再放进 $f$ （把 $f$ 的 $x$ 换成 $x+3$ ）：

f(g(x))=(x+3)^2.

例 2　反函数

求 $y=3x-6$ 的反函数。

解

第一步，解出 $x$ ： $y=3x-6\Rightarrow 3x=y+6\Rightarrow x=\dfrac{y+6}{3}$ 。

第二步， $x$ 、 $y$ 对调：反函数是

y=\frac{x+6}{3}.

🧮 课堂练习

先自己做，再展开看答案。错题归入「函数与连续」分类。

$f(x)=\sqrt{x}$ ， $g(x)=x-1$ ，求 $f(g(x))$ 。
$f(x)=2x$ ， $g(x)=x^2$ ，求 $f(g(x))$ 。
求 $y=x+5$ 的反函数。
求 $y=2x$ 的反函数。

参考答案

$f(g(x))=\sqrt{x-1}$ 。
$f(g(x))=2x^2$ 。
解出 $x=y-5$ ，对调： $y=x-5$ 。
解出 $x=\dfrac{y}{2}$ ，对调： $y=\dfrac{x}{2}$ 。

🎓 真题实战

真题 1　（2023 年 4 月 · 第 6 题）　函数 $y=2x+1$ 的反函数是 $y=$ ______。

真题 2　（2020 年 10 月 · 第 6 题）　设 $f(x)=\ln x$ ， $g(x)=x+3$ ，则 $f[g(x)]$ 的定义域是 ______。

真题参考答案

真题 1　解出 $x$ ： $y=2x+1\Rightarrow x=\dfrac{y-1}{2}$ ；对调 $x$ 、 $y$ ：反函数 $y=\dfrac{x-1}{2}$ 。

真题 2　先复合： $f[g(x)]=\ln(x+3)$ 。 $\ln$ 里面要 $>0$ （Day 11 的规则）： $x+3>0$ ，得 $x>-3$ ，定义域 $(-3,+\infty)$ 。

完整卷见 2023 年 4 月真题、2020 年 10 月真题。

🔑 小结 / 易错点

复合 $f(g(x))$ ：先算里面 $g$ ，再放进外面 $f$ 。
$f(\text{某式})$ 就是把 $f$ 里的 $x$ 全换成那个式子。
反函数两步：解出 $x$ → 把 $x$ 、 $y$ 对调。
今日最低要求：会求简单的 $f(g(x))$ 和一次函数的反函数。

复合函数、反函数