2023 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试

高等数学（工专）试题

课程代码：00022

注意事项

1. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
2. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

试题

选择题部分

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。

1. 下列函数中，有界函数是

   A. $f(x)=\tan x,\ x\in(0,\frac{\pi}{2})$

   B. $f(x)=\ln x,\ x\in(0,+\infty)$

   C. $f(x)=\dfrac{1}{x+1},\ x\in(-1,0)$

   D. $f(x)=\sin\dfrac{1}{x},\ x\in(0,+\infty)$

2. 若 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=0$，则级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n$

   A. 收敛

   B. 发散

   C. 可能收敛也可能发散

   D. 前 $n$ 项和一定有极限

3. 极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\cos\left[(1+x)^{1/x}\right]=$

   A. $e$

   B. $\cos e$

   C. $\cos1$

   D. 不存在

4. 若 $\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$，则 $\displaystyle\int\frac{1}{x^2}f\left(\frac{1}{x}\right)\,dx=$

   A. $-F\left(\dfrac{1}{x}\right)+C$

   B. $F\left(\dfrac{1}{x}\right)+C$

   C. $F\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+C$

   D. $-F\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+C$

5. 设 $A$ 和 $B$ 均为三阶方阵，则必有

   A. $|A+B|=|A|+|B|$

   B. $AB=BA$

   C. $|AB|=|A||B|$

   D. $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$

非选择题部分

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

6. 函数 $y=2x+1$ 的反函数是 $y=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

7. 设

   $$f(x)= \begin{cases} \sin x, & x\ge\dfrac{\pi}{2},\\ \dfrac{2}{\pi}x, & x<\dfrac{\pi}{2}, \end{cases}$$

   则 $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}f(x)=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

8. 曲线 $y=x^2$ 上点 $(1,1)$ 处的切线的斜率为 $\underline{\hspace{2.5cm}}$。

9. 设函数 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处可导，且在 $x=1$ 处取得极值，则 $f'(1)=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

10. 极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sin^2t\,dt}{x^3}=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

11. 曲线 $y=\sqrt{3x}$ 与 $x$ 轴及直线 $x=3$ 所围的平面图形的面积为 $\underline{\hspace{2.5cm}}$。

12. 行列式

    $$\begin{vmatrix} -3&-1\\ -1&0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 3&1\\ 1&0 \end{vmatrix} =\underline{\hspace{2.5cm}}.$$

13. 设矩阵 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$，且 $|A|=ad-bc\ne0$，则 $A^{-1}=\underline{\hspace{2.5cm}}$。

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

14. 求极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2+2\cos x-2}{x^3}$。

15. 设 $y=x\ln x+5$，求 $\left.y''\right|_{x=e}$。

16. 已知曲线 $y=a\sin x-e^x+b$ 过点 $(0,1)$，且曲线在点 $(0,1)$ 处的切线与直线 $y=x+4$ 平行，试求 $a$ 和 $b$ 的值。

17. 求不定积分 $\displaystyle\int\frac{dx}{9+4x^2}$。

18. 确定函数 $y=x^3+3x^2-7$ 的单调区间。

19. 计算定积分 $\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx$。

20. 若齐次线性方程组

    $$\begin{cases} \lambda x_1+x_2=0,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=0,\\ x_2+x_3=0 \end{cases}$$

    只有零解，$\lambda$ 应取何值？

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

21. 用铁皮做一个容积为 $500\,\mathrm{m}^3$ 的有盖圆柱形容器，问应如何设计，才能使用料最省？

22. 求由曲线 $y=\sqrt{2-x}$ 与直线 $x=-1$，$y=1$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

答案及评分参考

一、单项选择题

1. D
2. C
3. B
4. A
5. C

二、填空题

6. $\dfrac{1}{2}(x-1)$

7. $1$

8. $2$

9. $0$

10. $\dfrac{1}{3}$

11. $6$

12. $-2$

13. $\displaystyle\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$

三、计算题

14. 解：

    $$\lim_{x\to0}\frac{x^2+2\cos x-2}{x^3} =\lim_{x\to0}\frac{2x-2\sin x}{3x^2} =\lim_{x\to0}\frac{2-2\cos x}{6x} =\lim_{x\to0}\frac{2\sin x}{6}=0.$$

15. 解：$y'=\ln x+1$，$y''=\dfrac{1}{x}$，故 $\left.y''\right|_{x=e}=\dfrac{1}{e}$。

16. 解：由 $y(0)=-1+b=1$ 得 $b=2$。又 $y'=a\cos x-e^x$，点 $(0,1)$ 处切线斜率为 $a-1$。因切线与 $y=x+4$ 平行，$a-1=1$，故 $a=2$，$b=2$。

17. 解：

    $$\int\frac{dx}{9+4x^2} =\frac{1}{6}\arctan\frac{2x}{3}+C.$$

18. 解：$y'=3x^2+6x=3x(x+2)$。函数单调增加区间为 $(-\infty,-2)$、$(0,+\infty)$，单调减少区间为 $(-2,0)$。

19. 解：

    $$\int_1^e\ln x\,dx=\left.x\ln x\right|_1^e-\int_1^e dx =e-(e-1)=1.$$

20. 解：系数行列式

    $$D= \begin{vmatrix} \lambda&1&0\\ 1&\lambda&1\\ 0&1&1 \end{vmatrix} =(\lambda-1)^2.$$

    齐次线性方程组只有零解当且仅当 $D\ne0$，故 $\lambda\ne1$。

四、综合题

21. 解：设容器底面半径为 $x$，高为 $h$。由 $\pi x^2h=500$，得 $h=\dfrac{500}{\pi x^2}$。表面积

    $$S=2\pi x^2+2\pi xh=2\pi x^2+\frac{1000}{x}.$$ $$S'=4\pi x-\frac{1000}{x^2}.$$

    令 $S'=0$ 得 $x=\sqrt[3]{\dfrac{250}{\pi}}$，此时 $h=2x$。故底面半径为 $\sqrt[3]{\dfrac{250}{\pi}}\,\mathrm{m}$、高为 $2\sqrt[3]{\dfrac{250}{\pi}}\,\mathrm{m}$ 时用料最省。

22. 解：

    $$V=\pi\int_{-1}^{1}\left(\sqrt{2-x}\right)^2\,dx =\pi\int_{-1}^{1}(2-x)\,dx =4\pi.$$