第一阶段：函数基础 · Day 14 / 51

奇偶性、周期、有界性、单调性、分段函数

函数性质分段函数

🎯 今天要会做什么

速览函数的几个性质：奇偶、周期、有界、单调（很多前面见过）。
重点：会看懂、会求值「分段函数」。

这是函数基础的最后一天。前四个性质大多在三角那里见过，今天串一遍；新东西是分段函数，多花点时间。

📖 知识点精讲

1. 四个性质，一句话各记一个

奇偶性： $f(-x)=f(x)$ 是偶， $f(-x)=-f(x)$ 是奇（Day 7 学过怎么判断）。
周期性：图像每隔一段就重复（Day 6 学过，如 $\sin x$ 周期 $2\pi$ ）。
有界性：函数值有上下限。例如 $\sin x$ 永远在 $-1$ 和 $1$ 之间，所以有界；而 $x^2$ 能要多大有多大，无界。
单调性：一路上升叫增函数，一路下降叫减函数。例如 $y=x^3$ 一直增。

2. 分段函数：分段定义

有的函数在不同的 $x$ 范围用不同的式子，叫分段函数，用大括号写。例如

f(x)= \begin{cases} x^2, & x\ge0,\\ -x, & x<0. \end{cases}

求值方法：先看 $x$ 落在哪一段，就用那一段的式子。

求 $f(2)$ ： $2\ge0$ ，用上面的 $x^2$ ，得 $4$ 。
求 $f(-3)$ ： $-3<0$ ，用下面的 $-x$ ，得 $-(-3)=3$ 。

分段函数 f(x)：x≥0 时是 x²（橙右半），x<0 时是 -x（左半的直线）。

3. 分段函数的定义域

就是各段范围合起来。上面的例子， $x\ge0$ 和 $x<0$ 合起来覆盖所有数，定义域是 $(-\infty,+\infty)$ 。

✍️ 例题精解

例 1　分段函数求值

设 $f(x)=\begin{cases}x+1, & x\ge0,\\ x^2, & x<0,\end{cases}$ 求 $f(2)$ 和 $f(-2)$ 。

解

$f(2)$ ： $2\ge0$ ，用 $x+1$ ，得 $2+1=3$ 。
$f(-2)$ ： $-2<0$ ，用 $x^2$ ，得 $(-2)^2=4$ 。

例 2　判断有界

$g(x)=\cos x$ 有界吗？

解　 $\cos x$ 永远在 $-1$ 和 $1$ 之间（ $-1\le\cos x\le1$ ），有上下限，所以有界。

🧮 课堂练习

先自己做，再展开看答案。错题归入「函数与连续」分类。

$f(x)=\begin{cases}2x, & x\ge1,\\ 1, & x<1,\end{cases}$ 求 $f(3)$ 和 $f(0)$ 。
$\sin x$ 有界吗？为什么？
$y=x^3$ 是增函数还是减函数？
$f(x)=\begin{cases}x^2, & x>0,\\ 0, & x\le0,\end{cases}$ 求 $f(2)$ 和 $f(-5)$ 。

参考答案

$f(3)$ ： $3\ge1$ 用 $2x$ ，得 $6$ ； $f(0)$ ： $0<1$ 用 $1$ ，得 $1$ 。
有界。因为 $-1\le\sin x\le1$ ，有上下限。
增函数（一路上升）。
$f(2)$ ： $2>0$ 用 $x^2$ ，得 $4$ ； $f(-5)$ ： $-5\le0$ 用 $0$ ，得 $0$ 。

🎓 真题实战

真题　（2024 年 4 月 · 第 6 题）　函数 $f(x)=\begin{cases}\ln x, & x>0,\\ 0, & x\le0,\end{cases}$ 的定义域是 ______。

真题参考答案

分段函数的定义域是各段合起来：上面一段管 $x>0$ ，下面一段管 $x\le0$ ，两段合起来正好是所有实数。

定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 。

完整卷见 2024 年 4 月真题。

🔑 小结 / 易错点

四个性质各记一句：奇偶（对称）、周期（重复）、有界（有上下限）、单调（一直增/减）。
分段函数求值：先看 $x$ 在哪一段，再用那一段的式子。
分段函数定义域 = 各段范围合起来。
今日最低要求：会做分段函数求值；能判断 $\sin/\cos$ 有界。