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历年真题 · 2020 年 10 月

2020 年 10 月 · 00022 高等数学（工专）真题

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2020 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试

高等数学（工专）

课程代码：00022

注意事项

  1. 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
  2. 应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效。
  3. 涂写部分、画图部分必须使用 2B 铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。

试题

第一部分 选择题

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

  1. 下列函数中，基本初等函数的选项是

    A.

    y={2x2,x>0,2x+1,x<0y= \begin{cases} 2x^2, & x>0,\\ 2x+1, & x<0 \end{cases}

    B. y=2x+cos⁡xy=2x+\cos x

    C. y=sin⁡xy=\sin\sqrt{x}

    D. y=xy=x

  2. 当 x→0x\to 0 时，下列选项中不是无穷小量的选项为

    A. sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x}

    B. x2x\dfrac{x^2}{x}

    C. ln⁡(1+x)\ln(1+x)

    D. ex−1e^x-1

  3. 级数 ∑n=0∞(23)n\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n 的和为

    A. 23\dfrac{2}{3}

    B. 11

    C. 22

    D. 33

  4. 定积分 ∫122∣ln⁡x∣ dx=\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^2|\ln x|\,dx=

    A. ∫121ln⁡x dx+∫12ln⁡x dx\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1\ln x\,dx+\int_1^2\ln x\,dx

    B. −∫121ln⁡x dx+∫12ln⁡x dx\displaystyle-\int_{\frac{1}{2}}^1\ln x\,dx+\int_1^2\ln x\,dx

    C. −∫121ln⁡x dx−∫12ln⁡x dx\displaystyle-\int_{\frac{1}{2}}^1\ln x\,dx-\int_1^2\ln x\,dx

    D. ∫121ln⁡x dx−∫12ln⁡x dx\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1\ln x\,dx-\int_1^2\ln x\,dx

  5. 下列矩阵中，对称矩阵是

    A. [0−110]\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}

    B. [1−234]\begin{bmatrix}1&-2\\3&4\end{bmatrix}

    C. [−1001]\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}

    D. [21−12]\begin{bmatrix}2&1\\-1&2\end{bmatrix}

第二部分 非选择题

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

  1. 设 f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x，g(x)=x+3g(x)=x+3，则 f[g(x)]f[g(x)] 的定义域是 ‾\underline{\hspace{2.5cm}}。

  2. 极限 lim⁡x→0−21x=‾\displaystyle\lim_{x\to 0^-}2^{\frac{1}{x}}=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  3. 设 f(x)=xf(x)=\sqrt{x}，则 f′(1)=‾f'(1)=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  4. 设曲线 y=x3+bx+1y=x^3+bx+1 在点 (0,1)(0,1) 处有水平的切线，则 b=‾b=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  5. ∫121x2 dx=‾\displaystyle\int_1^2\frac{1}{x^2}\,dx=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  6. 曲线 y=exy=e^x，y=e−xy=e^{-x} 及 x=1x=1 所围平面图形的面积为 ‾\underline{\hspace{2.5cm}}。

  7. 行列式

∣511−620−5−50∣=‾.\begin{vmatrix} 5&1&1\\ -6&2&0\\ -5&-5&0 \end{vmatrix} =\underline{\hspace{2.5cm}}.
  1. 设
A=[123201],B=[−21100−2],A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&0&1\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix} -2&1\\ 1&0\\ 0&-2 \end{bmatrix},

则 AB=‾AB=\underline{\hspace{2.5cm}}。

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

  1. 求极限 lim⁡x→0[1x−1ln⁡(1+x)]\displaystyle\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln(1+x)}\right]。

  2. 设 y=(1+x2)arctan⁡xy=(1+x^2)\arctan x，求 y′′y''。

  3. 设函数

f(x)={ex−1,x≥0,asin⁡x+b,x<0f(x)= \begin{cases} e^x-1, & x\ge 0,\\ a\sin x+b, & x<0 \end{cases}

在点 x=0x=0 可导，试求 a,ba,b。

  1. 设 f′(x)=11+x2f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}，且 f(0)=π4f(0)=\dfrac{\pi}{4}，求 f(x)f(x)。

  2. 确定函数 y=xln⁡x+1y=x\ln x+1 的单调区间。

  3. 计算定积分 ∫01xex2 dx\displaystyle\int_0^1 xe^{x^2}\,dx。

  4. 求解线性方程组

{x1−2x2+4x3=0,2x1+3x2+x3=0,x1+x2+x3=0.\begin{cases} x_1-2x_2+4x_3=0,\\ 2x_1+3x_2+x_3=0,\\ x_1+x_2+x_3=0. \end{cases}

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

  1. 求函数 y=x1+x2y=\dfrac{x}{1+x^2} 在区间 [−2,3][-2,3] 上的最大值和最小值。

  2. 求由曲线 y=x2y=x^2 及 x=y2x=y^2 所围成的平面图形绕 yy 轴旋转一周所得旋转体的体积。

答案及评分参考

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。

  1. D
  2. A
  3. D
  4. B
  5. C

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

  1. (−3,+∞)(-3,+\infty) 或 x>−3x>-3

  2. 00

  3. 12\dfrac{1}{2}

  4. 00

  5. 12\dfrac{1}{2}

  6. e+1e−2e+\dfrac{1}{e}-2

  7. 4040

  8. [0−5−40]\begin{bmatrix}0&-5\\-4&0\end{bmatrix}

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

  1. 解：
lim⁡x→0[1x−1ln⁡(1+x)]=lim⁡x→0ln⁡(1+x)−xxln⁡(1+x)\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln(1+x)}\right] =\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x\ln(1+x)} =lim⁡x→0ln⁡(1+x)−xx2=lim⁡x→011+x−12x=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x}-1}{2x} =lim⁡x→0−x2x(1+x)=−12.=\lim_{x\to 0}\frac{-x}{2x(1+x)} =-\frac{1}{2}.
  1. 解：
y′=2xarctan⁡x+(1+x2)⋅11+x2=2xarctan⁡x+1,y'=2x\arctan x+(1+x^2)\cdot\frac{1}{1+x^2} =2x\arctan x+1, y′′=2(arctan⁡x+x⋅11+x2)=2(arctan⁡x+x1+x2).y''=2\left(\arctan x+x\cdot\frac{1}{1+x^2}\right) =2\left(\arctan x+\frac{x}{1+x^2}\right).
  1. 解：由 f(x)f(x) 在点 x=0x=0 可导知 f(x)f(x) 在点 x=0x=0 连续，即
lim⁡x→0f(x)=f(0)=0.\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=0.

从而

lim⁡x→0+(ex−1)=lim⁡x→0−(asin⁡x+b)=0,\lim_{x\to 0^+}(e^x-1)=\lim_{x\to 0^-}(a\sin x+b)=0,

得 b=0b=0。

又 f′(0)=f+′(0)=f−′(0)f'(0)=f'_+(0)=f'_-(0)，

f+′(0)=lim⁡Δx→0+f(0+Δx)−f(0)Δx=lim⁡Δx→0+eΔx−1−0Δx=1,f'_+(0)=\lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{e^{\Delta x}-1-0}{\Delta x}=1, f−′(0)=lim⁡Δx→0−f(0+Δx)−f(0)Δx=lim⁡Δx→0−asin⁡Δx+b−0Δx=a.f'_-(0)=\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{a\sin\Delta x+b-0}{\Delta x} =a.

于是 a=1a=1，故 a=1a=1，b=0b=0。

  1. 解：
f(x)=∫11+x2 dx=arctan⁡x+C.f(x)=\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C.

由 f(0)=π4f(0)=\dfrac{\pi}{4} 得 C=π4C=\dfrac{\pi}{4}，因此

f(x)=arctan⁡x+π4.f(x)=\arctan x+\frac{\pi}{4}.
  1. 解：函数 y=xln⁡x+1y=x\ln x+1 在其定义域 (0,+∞)(0,+\infty) 内可导，且
y′=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1.y'=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1.

令 y′=0y'=0 解得 x=e−1x=e^{-1}。

当 x∈(0,e−1)x\in(0,e^{-1}) 时，y′<0y'<0；当 x∈(e−1,+∞)x\in(e^{-1},+\infty) 时，y′>0y'>0。

所以 y=xln⁡x+1y=x\ln x+1 单调减少区间为 (0,e−1)(0,e^{-1})，单调增加区间为 (e−1,+∞)(e^{-1},+\infty)。

  1. 解：
∫01xex2 dx=12∫01ex2 d(x2)=12ex2∣01=12(e−1).\int_0^1 xe^{x^2}\,dx =\frac{1}{2}\int_0^1e^{x^2}\,d(x^2) =\frac{1}{2}e^{x^2}\bigg|_0^1 =\frac{1}{2}(e-1).
  1. 解：对方程组的系数矩阵进行初等行变换：
[1−24231111]→[1112311−24]→[11101−10−33]→[11101−1000]→[10201−1000].\begin{bmatrix} 1&-2&4\\ 2&3&1\\ 1&1&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 2&3&1\\ 1&-2&4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&1&-1\\ 0&-3&3 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&1&-1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&0&0 \end{bmatrix}.

原方程组化成了

{x1+2x3=0,x2−x3=0,\begin{cases} x_1+2x_3=0,\\ x_2-x_3=0, \end{cases}

方程组的通解为

{x1=−2x3,x2=x3,x3=x3,\begin{cases} x_1=-2x_3,\\ x_2=x_3,\\ x_3=x_3, \end{cases}

其中 x3x_3 为自由未知量。

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

  1. 解：函数 y=x1+x2y=\dfrac{x}{1+x^2} 在 [−2,3][-2,3] 上连续，在 (−2,3)(-2,3) 内可导，并且
y′=1+x2−x⋅2x(1+x2)2=1−x2(1+x2)2.y'=\frac{1+x^2-x\cdot 2x}{(1+x^2)^2} =\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}.

令 y′=0y'=0 得 x1=−1x_1=-1，x2=1x_2=1。

而

y(−2)=−25,y(−1)=−12,y(1)=12,y(3)=310.y(-2)=-\frac{2}{5},\quad y(-1)=-\frac{1}{2},\quad y(1)=\frac{1}{2},\quad y(3)=\frac{3}{10}.

所以函数 y=x1+x2y=\dfrac{x}{1+x^2} 在 [−2,3][-2,3] 上的最大值为 y(1)=12y(1)=\dfrac{1}{2}，最小值为 y(−1)=−12y(-1)=-\dfrac{1}{2}。

  1. 解：y=x2y=x^2 与 x=y2x=y^2 的交点为 (0,0)(0,0)，(1,1)(1,1)。

所求体积为

V=π∫01(y)2 dy−π∫01(y2)2 dyV=\pi\int_0^1(\sqrt{y})^2\,dy-\pi\int_0^1(y^2)^2\,dy =π∫01(y−y4) dy=π(y22−y55)∣01=310π.=\pi\int_0^1(y-y^4)\,dy =\pi\left(\frac{y^2}{2}-\frac{y^5}{5}\right)\bigg|_0^1 =\frac{3}{10}\pi.