Day 22：基本积分公式（幂、指、三角、反三角）+ 拆项

🎯 今天要会做什么

把「积分」理解成「求导的逆运算」，会用求导检验答案。
背熟一张基本积分表，看到标准形式直接写结果，永远记得加 $+C$ 。
会用线性性质和拆项处理稍复杂的式子。

这是不定积分的第一天，也是考试最稳的得分区（第 17 题）。基本公式背不熟，后面换元、分部都没法做。

📖 知识点精讲

1. 不定积分是什么

如果 $F'(x)=f(x)$ ，就说 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，记 $\displaystyle\int f(x)\,\mathrm dx = F(x)+C$ 。

为什么一定要写 $+C$ ？因为常数求导是 $0$ ，所以 $x^2$ 、 $x^2+1$ 、 $x^2-5$ 的导数都是 $2x$ 。原函数是一整族「上下平移」的曲线：

∫2x dx = x²+C：C 不同，得到一族上下平移的曲线，每点斜率都相同。

最重要的习惯：算完用求导检验。比如得到 $\int 2x\,\mathrm dx=x^2+C$ ，求导 $(x^2+C)'=2x$ ，对上了就放心。

2. 基本积分表（必须背熟）

被积函数	积分结果
$x^{n}\ (n\neq -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert + C$
$e^{x}$	$e^{x}+C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sec^{2}x$	$\tan x + C$
$\dfrac{1}{1+x^{2}}$	$\arctan x + C$

幂函数那条最常用：指数加 $1$ 、再除以新指数；对负指数、分数指数同样成立（只要 $n\neq-1$ ）。例如

\int \frac{1}{x^{2}}\,\mathrm dx=\int x^{-2}\,\mathrm dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x}+C, \qquad \int \sqrt{x}\,\mathrm dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.

3. 线性性质（积分可以拆开）

\int \big[a\,f(x)+b\,g(x)\big]\,\mathrm dx = a\int f(x)\,\mathrm dx + b\int g(x)\,\mathrm dx.

即常数提到积分号外、加减号逐项积分。但乘法、除法不能这样拆——要么先化简，要么留到换元、分部。

✍️ 例题精解

例 1　逐项积分

\int \left(3x^{2}-4x+5\right)\mathrm dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3}-4\cdot\frac{x^{2}}{2}+5x+C = x^{3}-2x^{2}+5x+C.

求导检验： $(x^3-2x^2+5x+C)'=3x^2-4x+5$ 。✓

例 2　先化简再积分（除法要拆开）

\int \frac{x^{2}+1}{x}\,\mathrm dx.

解　分式不能直接套公式，先把分子逐项除以分母：

\frac{x^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \int\!\left(x+\frac1x\right)\mathrm dx=\frac{x^{2}}{2}+\ln\lvert x\rvert + C.

例 3　三角恒等式帮忙

\int \tan^{2}x\,\mathrm dx.

解　表里没有 $\tan^2 x$ ，用 Day 5 的恒等式 $1+\tan^2x=\sec^2x$ 变形：

\int \tan^{2}x\,\mathrm dx=\int(\sec^{2}x-1)\,\mathrm dx=\tan x - x + C.

🧮 课堂练习

先自己做，每道都用求导检验，再展开对答案。错题归入「不定积分」分类。

$\displaystyle\int \left(x^{3}-2x\right)\mathrm dx$
$\displaystyle\int \frac{1}{x^{3}}\,\mathrm dx$
$\displaystyle\int \left(2\sqrt{x}-\frac{3}{x}\right)\mathrm dx$
$\displaystyle\int \left(4\cos x - \sin x\right)\mathrm dx$
$\displaystyle\int \frac{x^{2}-3x+2}{x}\,\mathrm dx$

参考答案

$\dfrac{x^{4}}{4}-x^{2}+C$
$\displaystyle\int x^{-3}\,\mathrm dx=\dfrac{x^{-2}}{-2}+C=-\dfrac{1}{2x^{2}}+C$
$\dfrac{4}{3}x^{3/2}-3\ln\lvert x\rvert+C$
$4\sin x+\cos x+C$
先拆 $\dfrac{x^2-3x+2}{x}=x-3+\dfrac{2}{x}$ ，故 $=\dfrac{x^{2}}{2}-3x+2\ln\lvert x\rvert+C$

🎓 真题实战

下面这道直接来自历年卷的第 17 题，只用今天的基本公式 + 拆项就能做：

真题　（2024 年 4 月 · 第 17 题）　求 $\displaystyle\int\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,\mathrm dx$ 。

真题参考答案

分子做「加一项减一项」的拆项，把它变成两个能直接积的式子：

\int\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,\mathrm dx =\int\frac{(1+x^{2})-1}{1+x^{2}}\,\mathrm dx =\int\!\left(1-\frac{1}{1+x^{2}}\right)\mathrm dx =x-\arctan x+C.

套路：分式里分子次数不低于分母时，先拆成「整式 + 真分式」。

想看它在整张卷里的位置，可点开 2024 年 4 月真题。需要换元、分部的第 17 题留到 Day 23–30（基础三角积分如 $\int\sec^2x\,\mathrm dx$ 已在 Day 9 学过）。

🔑 小结 / 易错点

永远写 $+C$ ，漏写直接扣分。
幂函数公式对 $n=-1$ 不成立： $\displaystyle\int\frac1x\,\mathrm dx=\ln\lvert x\rvert+C$ 。
乘法、除法不能直接拆进积分号；先化简（例 2）或等换元/分部。
今日最低要求：基本积分表合上书能默写；例 1、例 2 的拆项手法熟练。

基本积分公式（幂、指、三角、反三角）+ 拆项