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历年真题 · 2021 年 4 月

2021 年 4 月 · 00022 高等数学（工专）真题

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2021 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试

高等数学（工专）

课程代码：00022

注意事项

  1. 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
  2. 应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效。
  3. 涂写部分、画图部分必须使用 2B 铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。

试题

第一部分 选择题

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

  1. 下列函数中，周期为 π\pi 的函数是

    A. y=sin⁡xy=\sin x

    B. y=sin⁡x2y=\sin\dfrac{x}{2}

    C. y=arctan⁡2xy=\arctan 2x

    D. y=tan⁡(x+1)y=\tan(x+1)

  2. 极限 lim⁡x→+∞e−x=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=

    A. −∞-\infty

    B. 00

    C. e−1e^{-1}

    D. ∞\infty

  3. 级数 ∑n=1∞(1+1n)n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n 的敛散情况是

    A. 发散

    B. 收敛于 00

    C. 收敛于 ee

    D. 收敛于 11

  4. 设

    f(x)={x2,x>0,x,x≤0,f(x)= \begin{cases} x^2, & x>0,\\ x, & x\le 0, \end{cases}

    则 ∫−11f(x) dx=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=

    A. 2∫−10x dx\displaystyle 2\int_{-1}^{0}x\,dx

    B. 2∫01x2 dx\displaystyle 2\int_0^1x^2\,dx

    C. ∫01x2 dx+∫−10x dx\displaystyle\int_0^1x^2\,dx+\int_{-1}^{0}x\,dx

    D. ∫01x dx+∫−10x2 dx\displaystyle\int_0^1x\,dx+\int_{-1}^{0}x^2\,dx

  5. 设 AA 为三阶方阵，AA 的转置矩阵记为 A′A'，下面选项中正确的选项是

    A. ∣A′∣=∣A∣−1|A'|=|A|^{-1}

    B. ∣A′∣=∣A∣|A'|=|A|

    C. ∣A′∣≠∣A∣|A'|\ne |A|

    D. ∣A′∣=∣−A∣|A'|=|-A|

第二部分 非选择题

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

  1. 已知 f(1x)=(x+1x)2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^2，则 f(x)=‾f(x)=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  2. 极限 lim⁡x→16x2−256x+10=‾\displaystyle\lim_{x\to 16}\frac{x^2-256}{x+10}=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  3. 设 f(x)f(x) 是可导函数，y=e2x+f2(x)y=e^{2x}+f^2(x)，则 dydx=‾\dfrac{dy}{dx}=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  4. 已知 lim⁡Δx→0f(0)−f(Δx)Δx=1\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(0)-f(\Delta x)}{\Delta x}=1，则 f′(0)=‾f'(0)=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  5. ∫−22(x3+∣x∣) dx=‾\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^3+|x|)\,dx=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  6. 曲线 y=x2y=x^2 及 y2=xy^2=x 所围的平面图形的面积为 ‾\underline{\hspace{2.5cm}}。

  7. 行列式

∣23432164−2∣=‾.\begin{vmatrix} 2&3&4\\ 3&2&1\\ 6&4&-2 \end{vmatrix} =\underline{\hspace{2.5cm}}.
  1. 已知
[100−2]X=[120−1],\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-2 \end{bmatrix}X= \begin{bmatrix} 1&2\\ 0&-1 \end{bmatrix},

则矩阵 X=‾X=\underline{\hspace{2.5cm}}。

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

  1. 求极限 lim⁡x→0e−x+ex−2x2\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{-x}+e^x-2}{x^2}。

  2. 设 y=x2+2x+ln⁡5y=x^2+2^x+\ln 5，求 y′∣x=0\left.y'\right|_{x=0}。

  3. 在曲线 y=xln⁡x+1y=x\ln x+1 上求一点，使该点的切线与直线 y=2x+3y=2x+3 平行。

  4. 求不定积分 ∫x dx(1+x2)2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(1+x^2)^2}。

  5. 确定函数 y=ex−e−x−1y=e^x-e^{-x}-1 的单调区间。

  6. 计算定积分 ∫01ex dx\displaystyle\int_0^1 e^{\sqrt{x}}\,dx。

  7. 如果方程组

{λx1+x2−x3=0,x1+λx2−x3=0,2x1−x2+x3=0\begin{cases} \lambda x_1+x_2-x_3=0,\\ x_1+\lambda x_2-x_3=0,\\ 2x_1-x_2+x_3=0 \end{cases}

只有零解，λ\lambda 应取何值？

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

  1. 设函数 f(x)=x3+ax2+bx+1f(x)=x^3+ax^2+bx+1，试问当常数 a,ba,b 满足什么关系时，f(x)f(x) 一定没有极值，可能有一个极值，可能有两个极值？

  2. 求由 y=x2y=x^2 及 y=1y=1 所围成的平面图形绕 yy 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

答案及评分参考

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。

  1. D
  2. B
  3. A
  4. C
  5. B

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

  1. (1+x)2(1+x)^2

  2. 00

  3. 2e2x+2f(x)f′(x)2e^{2x}+2f(x)f'(x)

  4. −1-1

  5. 44

  6. 13\dfrac{1}{3}

  7. 2020

  8. [12012]\begin{bmatrix}1&2\\0&\frac{1}{2}\end{bmatrix}

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

  1. 解：
lim⁡x→0e−x+ex−2x2=lim⁡x→0−e−x+ex2x\lim_{x\to 0}\frac{e^{-x}+e^x-2}{x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{-e^{-x}+e^x}{2x} =lim⁡x→0e−x+ex2=1.=\lim_{x\to 0}\frac{e^{-x}+e^x}{2} =1.
  1. 解：
y′=2x+2xln⁡2+0=2x+2xln⁡2.y'=2x+2^x\ln 2+0=2x+2^x\ln 2. y′∣x=0=2⋅0+20ln⁡2=ln⁡2.\left.y'\right|_{x=0}=2\cdot 0+2^0\ln 2=\ln 2.
  1. 解：
y′=ln⁡x+1.y'=\ln x+1.

设所求点为 (x0,y0)(x_0,y_0)，由导数的几何意义知，切线斜率 k=ln⁡x0+1k=\ln x_0+1。

依题意 ln⁡x0+1=2\ln x_0+1=2，解得 x0=ex_0=e。

将 x0=ex_0=e 代入 y=xln⁡x+1y=x\ln x+1，可得 y0=e+1y_0=e+1。

故曲线上点 (e,e+1)(e,e+1) 处的切线与直线 y=2x+3y=2x+3 平行。

  1. 解：
∫x dx(1+x2)2=12∫d(1+x2)(1+x2)2=−12(1+x2)+C.\int\frac{x\,dx}{(1+x^2)^2} =\frac{1}{2}\int\frac{d(1+x^2)}{(1+x^2)^2} =-\frac{1}{2(1+x^2)}+C.
  1. 解：函数 y=ex−e−x−1y=e^x-e^{-x}-1 为定义在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内的可导函数，并且
y′=ex−e−x⋅(−1)=ex+e−x.y'=e^x-e^{-x}\cdot(-1)=e^x+e^{-x}.

由于 y′=ex+e−x>0y'=e^x+e^{-x}>0，因此函数 y=ex−e−x−1y=e^x-e^{-x}-1 在其定义域 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内单调增加。

  1. 解：令 x=t\sqrt{x}=t，则 x=t2x=t^2，dx=2t dtdx=2t\,dt。于是
∫01ex dx=∫012tet dt=2∫01tet dt\int_0^1 e^{\sqrt{x}}\,dx =\int_0^1 2te^t\,dt =2\int_0^1 te^t\,dt =2(tet∣01−∫01et dt)=2(e−et∣01)=2.=2\left(te^t\bigg|_0^1-\int_0^1e^t\,dt\right) =2\left(e-e^t\bigg|_0^1\right) =2.
  1. 解：齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是系数行列式
D=∣λ1−11λ−12−11∣≠0.D= \begin{vmatrix} \lambda&1&-1\\ 1&\lambda&-1\\ 2&-1&1 \end{vmatrix} \ne 0.

而

D=∣λ1−11λ−12−11∣=∣λ+2001λ−12−11∣D= \begin{vmatrix} \lambda&1&-1\\ 1&\lambda&-1\\ 2&-1&1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda+2&0&0\\ 1&\lambda&-1\\ 2&-1&1 \end{vmatrix} =(λ+2)∣λ−1−11∣=(λ+2)(λ−1).=(\lambda+2) \begin{vmatrix} \lambda&-1\\ -1&1 \end{vmatrix} =(\lambda+2)(\lambda-1).

故 (λ+2)(λ−1)≠0(\lambda+2)(\lambda-1)\ne 0，即 λ≠−2\lambda\ne -2，λ≠1\lambda\ne 1 时，方程组只有零解。

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

  1. 解：函数 f(x)=x3+ax2+bx+1f(x)=x^3+ax^2+bx+1 在其定义域 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内可导，并且
f′(x)=3x2+2ax+b.f'(x)=3x^2+2ax+b.

令 f′(x)=0f'(x)=0。当

Δ=4a2−12b<0,\Delta=4a^2-12b<0,

即 a2−3b<0a^2-3b<0 时，方程 f′(x)=0f'(x)=0 没有根，函数 f(x)f(x) 没有驻点。

当

Δ=4a2−12b=0,\Delta=4a^2-12b=0,

即 a2−3b=0a^2-3b=0 时，方程 f′(x)=0f'(x)=0 有一个根，函数 f(x)f(x) 有一个驻点。

当

Δ=4a2−12b>0,\Delta=4a^2-12b>0,

即 a2−3b>0a^2-3b>0 时，方程 f′(x)=0f'(x)=0 有两个根，函数 f(x)f(x) 有两个驻点。

因为可导函数的极值点一定是驻点，所以当 a2−3b<0a^2-3b<0 时，f(x)f(x) 一定没有极值；当 a2−3b=0a^2-3b=0 时，f(x)f(x) 可能有一个极值；当 a2−3b>0a^2-3b>0 时，f(x)f(x) 可能有两个极值。

  1. 解：所求体积
V=π∫01(y)2 dy=π⋅y22∣01=π2.V=\pi\int_0^1(\sqrt{y})^2\,dy =\pi\cdot\frac{y^2}{2}\bigg|_0^1 =\frac{\pi}{2}.