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历年真题 · 2020 年 8 月

2020 年 8 月 · 00022 高等数学（工专）真题

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2020 年 8 月高等教育自学考试全国统一命题考试

高等数学（工专）

课程代码：00022

注意事项

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

试题

第一部分 选择题

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

  1. 函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域为 [0,1][0,1]，则 f(x+6)f(x+6) 的定义域为

    A. [0,1][0,1]

    B. [6,7][6,7]

    C. [−6,1][-6,1]

    D. [−6,−5][-6,-5]

  2. 函数 f(x)=x2−3x−1f(x)=\dfrac{x^2-3}{x-1} 的间断点为 x=x=

    A. 11

    B. 00

    C. 22

    D. −2-2

  3. 若 lim⁡n→∞un≠0\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n\ne 0，则级数 ∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n

    A. 一定收敛

    B. 一定发散

    C. 可能收敛

    D. 的部分和有界

  4. 若 ∫f(x) dx=F(x)+C\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C，则 ∫sin⁡xf(cos⁡x) dx=\displaystyle\int \sin x f(\cos x)\,dx=

    A. F(sin⁡x)+CF(\sin x)+C

    B. −F(cos⁡x)+C-F(\cos x)+C

    C. −F(sin⁡x)+C-F(\sin x)+C

    D. F(cos⁡x)+CF(\cos x)+C

  5. 设矩阵 A=[313152]A=\begin{bmatrix}3&1&3\\1&5&2\end{bmatrix}，则 3A=3A=

    A. [939152]\begin{bmatrix}9&3&9\\1&5&2\end{bmatrix}

    B. [3133156]\begin{bmatrix}3&1&3\\3&15&6\end{bmatrix}

    C. [9393156]\begin{bmatrix}9&3&9\\3&15&6\end{bmatrix}

    D. [3331152]\begin{bmatrix}3&3&3\\1&15&2\end{bmatrix}

第二部分 非选择题

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

  1. 已知 f(x)=1+ln⁡xf(x)=1+\ln x，g(x)=x+1g(x)=\sqrt{x}+1，则 f[g(x)]=‾f[g(x)]=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  2. 极限 lim⁡x→∞(1+1x)x+1=‾\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  3. 设 f(x)f(x) 是可导函数，y=f(x2)y=f(x^2)，则 dydx=‾\dfrac{dy}{dx}=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  4. 设 u(x)u(x) 在点 x0x_0 的导数为 3，v(x)v(x) 在点 x0x_0 的导数为 2，则 u(x)−v(x)u(x)-v(x) 在点 x0x_0 的导数为 ‾\underline{\hspace{2.5cm}}。

  5. ddx∫0x2e2t dt=‾\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}e^{2t}\,dt=\underline{\hspace{2.5cm}}。

  6. 曲线 y=1xy=\dfrac{1}{x} 与直线 y=xy=x 及 x=2x=2 所围平面图形的面积为 ‾\underline{\hspace{2.5cm}}。

  7. 行列式

∣12443116−2∣=‾.\begin{vmatrix} 1&2&4\\ 4&3&1\\ 1&6&-2 \end{vmatrix} =\underline{\hspace{2.5cm}}.
  1. 已知 3A+2X=B3A+2X=B，其中
A=[102113],B=[210−140],A=\begin{bmatrix} 1&0\\ 2&1\\ 1&3 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix} 2&1\\ 0&-1\\ 4&0 \end{bmatrix},

则矩阵 X=‾X=\underline{\hspace{2.5cm}}。

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

  1. 求极限 lim⁡x→ae−x−e−ax−a\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{e^{-x}-e^{-a}}{x-a}。

  2. 设函数

f(x)={sin⁡x,x<0,x2,x≥0,f(x)= \begin{cases} \sin x, & x<0,\\ x^2, & x\ge 0, \end{cases}

求 f′(x)f'(x)。

  1. 求曲线 y=x2+ln⁡xy=x^2+\ln x 在点 (1,1)(1,1) 处的切线方程。

  2. 求不定积分 ∫xex2 dx\displaystyle\int xe^{x^2}\,dx。

  3. 讨论曲线 y=e−x22y=e^{-\frac{x^2}{2}} 的凹、凸性，并求出其拐点。

  4. 计算定积分 ∫03∣2−x∣ dx\displaystyle\int_0^3 |2-x|\,dx。

  5. cc 为何值时，方程组

{cx1+x2+x3=0,x1+cx2−x3=0,2x1−x2+x3=0\begin{cases} cx_1+x_2+x_3=0,\\ x_1+cx_2-x_3=0,\\ 2x_1-x_2+x_3=0 \end{cases}

只有零解。

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

  1. 设曲线 y=ax3+bx2+cx+dy=ax^3+bx^2+cx+d 在点 (0,1)(0,1) 和点 (1,0)(1,0) 都有水平的切线，求常数 a,b,c,da,b,c,d 的值。

  2. 求由直线 y=2x+1y=2x+1 与直线 x=0x=0，x=1x=1 及 y=0y=0 所围成的梯形绕 xx 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

答案及评分参考

一、单项选择题

本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。

  1. D
  2. A
  3. B
  4. B
  5. C

二、填空题

本大题共 8 空，每空 4 分，共 32 分。

  1. 1+ln⁡(x+1)1+\ln(\sqrt{x}+1)

  2. ee

  3. 2xf′(x2)2xf'(x^2)

  4. 11

  5. 2xe2x22xe^{2x^2}

  6. 32−ln⁡2\dfrac{3}{2}-\ln 2

  7. 9090

  8. 12[−11−6−41−9]\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}-1&1\\-6&-4\\1&-9\end{bmatrix} 或 [−1212−3−212−92]\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-3&-2\\\frac{1}{2}&-\frac{9}{2}\end{bmatrix}

三、计算题

本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分。

  1. 解：
lim⁡x→ae−x−e−ax−a=lim⁡x→a−e−x1=−e−a.\lim_{x\to a}\frac{e^{-x}-e^{-a}}{x-a} =\lim_{x\to a}\frac{-e^{-x}}{1} =-e^{-a}.

或

lim⁡x→ae−x−e−ax−a=(e−x)′∣x=a=−e−x∣x=a=−e−a.\lim_{x\to a}\frac{e^{-x}-e^{-a}}{x-a} =(e^{-x})'\big|_{x=a} =-e^{-x}\big|_{x=a} =-e^{-a}.
  1. 解：当 x<0x<0 时，f′(x)=cos⁡xf'(x)=\cos x；当 x>0x>0 时，f′(x)=2xf'(x)=2x。

当 x=0x=0 时，

f+′(0)=lim⁡Δx→0+f(0+Δx)−f(0)Δx=lim⁡Δx→0+(Δx)2−0Δx=0,f'_+(0)=\lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{(\Delta x)^2-0}{\Delta x}=0, f−′(0)=lim⁡Δx→0−f(0+Δx)−f(0)Δx=lim⁡Δx→0−sin⁡Δx−0Δx=1.f'_-(0)=\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{\sin\Delta x-0}{\Delta x}=1.

因为 f+′(0)≠f−′(0)f'_+(0)\ne f'_-(0)，所以 f′(0)f'(0) 不存在。

综上，

f′(x)={cos⁡x,x<0,2x,x>0,f'(x)= \begin{cases} \cos x, & x<0,\\ 2x, & x>0, \end{cases}

且 f′(0)f'(0) 不存在。

  1. 解：
y′=2x+1x.y'=2x+\frac{1}{x}.

所求切线的斜率为

k=y′∣x=1=3.k=y'\big|_{x=1}=3.

所求切线的方程为

y−1=3(x−1),y-1=3(x-1),

即 3x−y−2=03x-y-2=0。

  1. 解：
∫xex2 dx=12∫ex2 d(x2)=12ex2+C.\int xe^{x^2}\,dx =\frac{1}{2}\int e^{x^2}\,d(x^2) =\frac{1}{2}e^{x^2}+C.
  1. 解：函数 y=e−x22y=e^{-\frac{x^2}{2}} 在其定义域 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内二阶可导，且
y′=e−x22⋅(−x)=−xe−x22,y'=e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot(-x)=-xe^{-\frac{x^2}{2}}, y′′=−[e−x22+xe−x22⋅(−x)]=−e−x22(1−x2).y''=-\left[e^{-\frac{x^2}{2}}+xe^{-\frac{x^2}{2}}\cdot(-x)\right] =-e^{-\frac{x^2}{2}}(1-x^2).

令 y′′=0y''=0 得 x=±1x=\pm 1。

因为当 x∈(−∞,−1)x\in(-\infty,-1) 时，y′′>0y''>0；当 x∈(−1,1)x\in(-1,1) 时，y′′<0y''<0；当 x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty) 时，y′′>0y''>0。

所以曲线的凸区间为 (−∞,−1)(-\infty,-1)，(1,+∞)(1,+\infty)，凹区间为 (−1,1)(-1,1)，拐点为 (−1,e−12)(-1,e^{-\frac{1}{2}})，(1,e−12)(1,e^{-\frac{1}{2}})。

  1. 解：
∫03∣2−x∣ dx=∫02(2−x) dx+∫23(x−2) dx\int_0^3 |2-x|\,dx =\int_0^2(2-x)\,dx+\int_2^3(x-2)\,dx =(2x−x22)∣02+(x22−2x)∣23=52.=\left(2x-\frac{x^2}{2}\right)\bigg|_0^2 +\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\bigg|_2^3 =\frac{5}{2}.
  1. 解：齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是系数行列式
D=∣c111c−12−11∣≠0.D= \begin{vmatrix} c&1&1\\ 1&c&-1\\ 2&-1&1 \end{vmatrix} \ne 0.

而

D=∣c111c−12−11∣=∣c+2121+2ccc−10−10∣=∣c+221+2cc−1∣D= \begin{vmatrix} c&1&1\\ 1&c&-1\\ 2&-1&1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c+2&1&2\\ 1+2c&c&c-1\\ 0&-1&0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c+2&2\\ 1+2c&c-1 \end{vmatrix} =c2−3c−4=(c+1)(c−4).=c^2-3c-4=(c+1)(c-4).

故 (c+1)(c−4)≠0(c+1)(c-4)\ne 0，即 c≠−1c\ne -1，c≠4c\ne 4 时，方程组只有零解。

四、综合题

本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分。

  1. 解：点 (0,1)(0,1) 和点 (1,0)(1,0) 在曲线上。

将 x=0x=0，y=1y=1 代入曲线方程，得 d=1d=1。

将 x=1x=1，y=0y=0 代入曲线方程，得 a+b+c+d=0a+b+c+d=0。

y′=3ax2+2bx+c.y'=3ax^2+2bx+c.

由题意知，y′(0)=c=0y'(0)=c=0，y′(1)=3a+2b+c=0y'(1)=3a+2b+c=0。

联立

{d=1,a+b+c+d=0,c=0,3a+2b+c=0,\begin{cases} d=1,\\ a+b+c+d=0,\\ c=0,\\ 3a+2b+c=0, \end{cases}

解得 a=2a=2，b=−3b=-3，c=0c=0，d=1d=1。

  1. 解：所求体积为
V=π∫01(2x+1)2 dxV=\pi\int_0^1(2x+1)^2\,dx =π∫01(4x2+4x+1) dx=\pi\int_0^1(4x^2+4x+1)\,dx =π(43x3+2x2+x)∣01=133π.=\pi\left(\frac{4}{3}x^3+2x^2+x\right)\bigg|_0^1 =\frac{13}{3}\pi.